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On appelle cycle une permutation $\sigma$ vérifiant la propriété suivante: il existe une partition de $\{ 1, \dots , n \}$ en deux sous-ensembles $I$ et $J$ tels que la restriction de $\sigma$ à $I$ est l’identité de $I$ et il existe $a\in J$ tel que $J= \{ a, \sigma (a) , \dots , \sigma ^{r-1} (a)\}$ où $r$ est le cardinal de $J$. Le sous-ensemble $J$ est appelé le support du cycle $\sigma$.

Un tel cycle sera noté $(a, \sigma (a), \dots , \sigma ^{r-1} (a) )$

(a) Soit $\sigma \in S_n$ une permutation. On considère le sous-groupe $C$ engendré par $\sigma$ dans $S_n$. Montrer que la restriction de $\sigma$ à chacune des orbites de $\{1, \dots ,n\}$ sous l’action de $C$ est un cycle, que ces différents cycles commutent entre eux, et que $\sigma$ est le produit de ces cycles.

(b) Décomposer en cycles les permutations suivantes de $\{ 1, \dots , 7\}$ :

$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&6&7&2&1&4&5\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\7&4&2&3&5&6&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\1&3&7&2&4&5&6\end{pmatrix}$.

(c) Montrer que si $\sigma$ est un cycle, $\sigma =(a, \sigma (a), \dots , \sigma^{r-1}(a))$, la conjuguée $\tau \sigma \tau ^{-1}$ est un cycle et que $\tau \sigma \tau ^{-1} =(\tau (a), \tau (\sigma (a)), \dots , \tau (\sigma ^{r-1} (a)))$.

(d) Déterminer toutes les classes de conjugaison des permutations dans $S_5$ (on considérera leur décomposition en cycles). Déterminer tous les sous-groupes distingués de $S_5$.