[ex:deb68] On appelle cycle une permutation \(\sigma\) vérifiant la propriété suivante: il existe une partition de \(\{ 1, \dots , n \}\) en deux sous-ensembles \(I\) et \(J\) tels que la restriction de \(\sigma\) à \(I\) est l’identité de \(I\) et il existe \(a\in J\) tel que \(J= \{ a, \sigma (a) , \dots , \sigma ^{r-1} (a)\}\) où \(r\) est le cardinal de \(J\). Le sous-ensemble \(J\) est appelé le support du cycle \(\sigma\).
Un tel cycle sera noté \((a, \sigma (a), \dots , \sigma ^{r-1} (a) )\)
(a) Soit \(\sigma \in S_n\) une permutation. On considère le sous-groupe \(C\) engendré par \(\sigma\) dans \(S_n\). Montrer que la restriction de \(\sigma\) à chacune des orbites de \(\{1, \dots ,n\}\) sous l’action de \(C\) est un cycle, que ces différents cycles commutent entre eux, et que \(\sigma\) est le produit de ces cycles.
(b) Décomposer en cycles les permutations suivantes de \(\{ 1, \dots , 7\}\) :
\(\hskip 20mm 1\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7 \hskip 20mm 1\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7\hskip 20mm 1\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7\)
\(\hskip 20mm 3\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7\hskip 2mm 2\hskip 2mm 1\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5 \hskip 20mm 7\hskip 2mm 4\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 1\hskip 20mm 1\hskip 2mm 3\hskip 2mm 7\hskip 2mm 2\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\)
(c) Montrer que si \(\sigma\) est un cycle, \(\sigma =(a, \sigma (a), \dots , \sigma^{r-1}(a))\), la conjuguée \(\tau \sigma \tau ^{-1}\) est un cycle et que \(\tau \sigma \tau ^{-1} =(\tau (a), \tau (\sigma (a)), \dots , \tau (\sigma ^{r-1} (a)))\).
(d) Déterminer toutes les classes de conjugaison des permutations dans \(S_5\) (on considérera leur décomposition en cycles). Déterminer tous les sous-groupes distingués de \(S_5\).