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Soit $M\in GL_2(\Zz)$, d’ordre fini $m$.

Montrer que si $z$ est une racine complexe du polynôme caractéristique $\chi_M(X)$ alors $z$ est racine du polynôme $X^m-1$.

Montrer, en résolvant l’équation $\phi(k)=1$, qu’il y a exactement deux polynômes cyclotomiques de degré un.

Montrer de même qu’il y a exactement trois polynômes cyclotomiques de degré deux dont on donnera les expressions développées.

En déduire que le polynôme $\chi_M(X)$ appartient à l’ensemble $\{X^2 + X + 1,X^2 + 1,X^2-X + 1,X^2-1, (X-1)^2, (X + 1)^2\}$.

En déduire que $m\in \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

Donner une matrice compagnon de $GL_2(\Zz)$ d’ordre $6$.

Soit $p$ un nombre premier, $p\geq 3$. On note $\mathbb{F}_p$ un corps de cardinal $p$. On rappelle que la surjection naturelle $\Zz\to \mathbb{F}_p$ induit un morphisme de groupes $R_p~:~GL_n(Z)\to GL_n(\mathbb{F}_p)$.

Soit $M\in GL_n(\Zz)$ d’ordre $m\geq 2$ et dans le noyau de $R_p$. On suppose que $M$ n’est pas l’identité. La matrice $M$ peut donc s’écrire $M = I_n +p^rN$ avec $r\in\Nn^\star$ et $N\in M_n(\Zz)-pM_n(\Zz)$.

Montrer que $mp^rN\in p^{2r}M_n(\Zz)$. En déduire que $p$ divise $m$. On pose alors $m = pm'$ et $M'= M^p$.

Montrer que $p$ divise $m'$.

En déduire une contradiction.

Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\Zz)$. Montrer que $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{F}_p)$.

Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_2(\Zz)$.

Montrer que le cardinal de $G$ est un diviseur de $48$.

Montrer que le cardinal de $G$ ne peut pas être égal à $48$. (On pourra, éventuellement, étudier $\Phi_8(X)$ considéré comme un polynôme à coefficients dans $\mathbb{F}_3$.)