Les classes de conjugaison de \(S_n\) correspondent aux types possibles d’une permutation de \(n\) éléments (cf indication exercice 3 Rappel). Pour \(n=4\), on a \(5\) classes: 1-1-1-1, 2-1-1, 2-2, 3-1 et 4.

Soit \(H\) un sous-groupe distingué non trivial de \(S_4\). Si \(H\) contient la classe 2-1-1 (transpositions), alors \(H=S_4\). Si \(H\) contient la classe 3-1, alors \(H\supset A_4\) (cf exercice [ex:deb67]) et donc \(H=A_4\) ou \(H=S_4\). Si \(H\) contient la classe 4, alors \(H=S_4\) (cf exercice [ex:deb69]). Si \(H\) contient la classe 2-2, alors \(H\supset V_4\) (voir la correction de l’exercice [ex:le7] définition de \(V_4\)), ce qui donne \(H=V_4\) ou bien, au vu des cas précédents, \(H=A_4\) ou \(H=S_4\). Les sous-groupes distingués de \(S_4\) sont donc \(\{1\}\), \(V_4\), \(A_4\) et \(S_4\).

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