Les classes de conjugaison de $S_n$ correspondent aux types possibles d’une permutation de $n$ éléments (cf indication exercice 3 Rappel). Pour $n=4$ , on a $5$ classes: 1-1-1-1, 2-1-1, 2-2, 3-1 et 4.

Soit $H$ un sous-groupe distingué non trivial de $S_4$ . Si $H$ contient la classe 2-1-1 (transpositions), alors $H=S_4$ . Si $H$ contient la classe 3-1, alors $H\supset A_4$ (cf exercice [ex:deb67]) et donc $H=A_4$ ou $H=S_4$ . Si $H$ contient la classe 4, alors $H=S_4$ (cf exercice [ex:deb69]). Si $H$ contient la classe 2-2, alors $H\supset V_4$ (voir la correction de l’exercice [ex:le7] définition de $V_4$ ), ce qui donne $H=V_4$ ou bien, au vu des cas précédents, $H=A_4$ ou $H=S_4$ . Les sous-groupes distingués de $S_4$ sont donc $\{1\}$ , $V_4$ , $A_4$ et $S_4$ .

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