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Montrer que les mots de la forme $g_+^{k_1}g_-^{l_1}g_+^{k_2}g_-^{l_2}\cdots g_+^{k_d}g_-^{l_d}g_+^{k_{d+1}}$ ne sont pas égaux à l’élément neutre $e_G$.

En déduire en utilisant une conjugaison qu’aucun mot du groupe engendré par $g_+$ et $g_-$ autre que le mot vide n’est égal à l’élément neutre. On dit alors que le groupe engendré par $g_+$ et $g_-$ est un groupe libre.

Que dire si on suppose seulement que $E_1$ n’est pas inclus dans $E_2$ ?

Montrer le sous groupe de $SL(2,\Zz)$ engendré par $$A:=\begin{pmatrix}1&2\\ 0&1\end{pmatrix}\quad \text{ et } \quad B:=\begin{pmatrix}1&0\\ 2&1\end{pmatrix}$$ est libre, en considérant l’action naturelle sur $\Rr^2$ et les domaines $\{(x,y)\in\Rr^2, |x|<|y|\}$ et $\{(x,y)\in\Rr^2, |x|>|y|\}$ délimités par les diagonales.