Soit \(G\) un groupe agissant sur un ensemble \(E\). Soit \(E_1\) et \(E_2\) deux parties non vides et disjointes de \(E\). Soit \(g_+\) et \(g_-\) deux éléments de \(G\) tels que toute puissance (positive ou négative) de \(g_+\) envoie tout élément de \(E_1\) dans \(E_2\) et toute puissance \(g_-\) envoie tout élément de \(E_2\) dans \(E_1\).
Montrer que les mots de la forme \(g_+^{k_1}g_-^{l_1}g_+^{k_2}g_-^{l_2}\cdots g_+^{k_d}g_-^{l_d}g_+^{k_{d+1}}\) ne sont pas égaux à l’élément neutre \(e_G\).
En déduire en utilisant une conjugaison qu’aucun mot du groupe engendré par \(g_+\) et \(g_-\) autre que le mot vide n’est égal à l’élément neutre. On dit alors que le groupe engendré par \(g_+\) et \(g_-\) est un groupe libre.
Que dire si on suppose seulement que \(E_1\) n’est pas inclus dans \(E_2\) ?
Montrer le sous groupe de \(SL(2,\Zz)\) engendré par \[A:=\begin{pmatrix}1&2\\ 0&1\end{pmatrix}\quad \text{ et } \quad B:=\begin{pmatrix}1&0\\ 2&1\end{pmatrix}\] est libre, en considérant l’action naturelle sur \(\Rr^2\) et les domaines \(\{(x,y)\in\Rr^2, |x|<|y|\}\) et \(\{(x,y)\in\Rr^2, |x|>|y|\}\) délimités par les diagonales.