Les cas $n=1$ et $n=2$ sont immédiats. On peut supposer $n\geq 3$ . On vérifie aisément la formule $(a_1 \hskip 2pt a_2\hskip 2pt\ldots\hskip 2pt a_{n-1}\hskip 2pt a_n)\ (a_{n-1} \hskip 2pt a_n\hskip 2pt a_{n-2} \ldots\hskip 2pt a_2\hskip 2pt a_1) = (a_1 \hskip 2pt a_n \hskip 2pt a_{n-1})$ où $a_1,\ldots,a_n$ sont les éléments d’un ensemble de cardinal $n$ . On en déduit que le groupe $PC_n$ engendré par les permutations circulaires contient les $3$ -cycles et donc le groupe alterné $A_n$ (voir exercice [ex:deb67]). Les permutations circulaires sont de signature $(-1)^{n-1}$ . Si $n$ est impair, elles sont donc paires d’où $PC_n\subset A_n$ et donc finalement $PC_n = A_n$ dans ce cas. Si $n$ pair, les permutations circulaires sont impaires, donc $PC_n\not=A_n$ . L’indice de $PC_n$ dans $S_n$ devant diviser $2$ (puisque $PC_n\supset A_n$ ), il vaut $1$ , c’est-à-dire $PC_n=S_n$ .

exo7 2169