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Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le centre d’un $p$-groupe $G$,( i.e. un groupe fini d’ordre une puissance non nulle de $p$), n’est pas réduit à l’élément neutre.

Montrer que si le quotient d’un groupe par son centre est cyclique alors le groupe est abélien, donc égal à son centre.

Montrer qu’un groupe d’ordre $p^2$ est abélien.

Montrer que le centre d’un groupe non abélien d’ordre $p^3$ est d’ordre $p$. En déduire que le nombre de classes de conjugaison est $p^2+p-1$. (On pourra étudier l’action de $G$ sur lui-même par conjugaison : ses points fixes, l’orbite des éléments, le stabilisateur des éléments...)