1
Soit \(p\) un nombre premier. Montrer que le centre d’un \(p\)-groupe \(G\),( i.e. un groupe fini d’ordre une puissance non nulle de \(p\)), n’est pas réduit à l’élément neutre.
2
Montrer que si le quotient d’un groupe par son centre est cyclique alors le groupe est abélien, donc égal à son centre.
3
Montrer qu’un groupe d’ordre \(p^2\) est abélien.
4
Montrer que le centre d’un groupe non abélien d’ordre \(p^3\) est d’ordre \(p\). En déduire que le nombre de classes de conjugaison est \(p^2+p-1\). (On pourra étudier l’action de \(G\) sur lui-même par conjugaison : ses points fixes, l’orbite des éléments, le stabilisateur des éléments...)