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Soient $G$ un groupe et $S$ un système de générateurs de $G$ contenant avec chaque élément $s$ son inverse $s^{-1}$ . Rappelons la construction du graphe de Cayley $C(G,S)$ . L’ensemble $V$ des sommets de $C(G,S)$ est en bijection avec l’ensemble des éléments de $G$ . Deux sommets $g_1$ et $g_2$ sont joints par une arête si $g^{-1}_1\cdot g_2 = s\in S$ .

La longueur de cette arête est déclarée par définition égale à $1$ . Un chemin $l\subset C(G,S)$ entre deux sommets $g$ et $h$ est une succession finie d’arêtes $\{e_1,...,e_n\}$ joignant $g$ et $h$ . La longueur $|l|$ de $l$ vaut par définition $n$ : le nombre des arêtes qui le constituent.

Montrer que la fonction $d:G \times G\mapsto \N$ donnée par $\displaystyle d(g,h)={\rm inf}\{{\rm longueurs\ des\ chemins\ joignant\ } g {\rm\ et\ } h\}$ est une distance et qu’il existe un chemin $l\subset C(G,S)$ qui la réalise c.-à.-d. $|l|=d(g,h)$ .

Pour chaque $g\in G$ posons $|g|=d(0,g)$ . Montrer que $\displaystyle |g|={\rm inf}\{k\ |\ g=s_{i_1}\cdot ... \cdot s_{i_k},\ s_{i_j}\in S\}$ .

Montrer que $G$ agit isométriquement sur les sommets de $C(G,S)$ , c.-à.-d. $\ \forall g\in G\ d(g\gamma_1, g\gamma_2)=d(\gamma_1,\gamma_2)\ {\rm o\grave u}\ \gamma_i\in V\ (i=1,2).$ En déduire que $d(f,h)=|f^{-1}\cdot h|\ (f,h\in V)$ .

Soit $F_2=<a,b>$ un groupe libre sur les générateurs $a$ et $b$ (voir l’exercice [pot:exo9]). Donner un fragment (initial) de son graphe de Cayley $C(F_2, \{a,b\})$ .

Démontrer que le graphe de Cayley d’un groupe libre est toujours un arbre (un graphe sans lacet s’appelle arbre).

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