Supposons \(\sigma \tau = \tau \sigma\). Pour tout \(x\notin I\), on a \(\sigma(\tau(x))=\tau(\sigma(x))=\tau(x)\); \(\tau(x)\), fixé par \(\sigma\), n’appartient pas à \(I\). Cela montre que le complémentaire de \(I\) est invariant par \(\tau\). Comme \(\tau\) est injective, \(I\) l’est aussi. Montrons que, sur \(I\), \(\tau\) est égal à une puissance de \(\sigma\). Quitte à renuméroter \(\{1,\ldots,n\}\), on peut supposer que \(I=\{1,\ldots,m\}\) (où \(m\leq n\)) et \(\sigma|_I= (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt\ldots\hskip 2pt m)\). L’entier \(\tau(1)\) est dans \(I\); soit \(k\) l’unique entier entre \(1\) et \(m\) tel que \(\tau(1)=\sigma^k(1)\). Pour tout \(i\in I\), on a alors \(\tau(i) = \tau \sigma^{i-1}(1) = \sigma^{i-1}\tau(1)= \sigma^{i-1}\sigma^{k}(1)=\sigma^{k}\sigma^{i-1}(1)=\sigma^{k}(i)\) (l’identité \(\tau \sigma^{i-1}= \sigma^{i-1}\tau\) utilisée dans le calcul découle facilement de l’hypothèse \(\sigma \tau = \tau \sigma\)). On obtient donc \(\tau|_I=(\sigma|_I)^k\). L’implication réciproque est facile.

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