Supposons $\sigma \tau = \tau \sigma$ . Pour tout $x\notin I$ , on a $\sigma(\tau(x))=\tau(\sigma(x))=\tau(x)$ ; $\tau(x)$ , fixé par $\sigma$ , n’appartient pas à $I$ . Cela montre que le complémentaire de $I$ est invariant par $\tau$ . Comme $\tau$ est injective, $I$ l’est aussi. Montrons que, sur $I$ , $\tau$ est égal à une puissance de $\sigma$ . Quitte à renuméroter $\{1,\ldots,n\}$ , on peut supposer que $I=\{1,\ldots,m\}$ (où $m\leq n$ ) et $\sigma|_I= (1\hskip 2pt 2\hskip 2pt\ldots\hskip 2pt m)$ . L’entier $\tau(1)$ est dans $I$ ; soit $k$ l’unique entier entre $1$ et $m$ tel que $\tau(1)=\sigma^k(1)$ . Pour tout $i\in I$ , on a alors $\tau(i) = \tau \sigma^{i-1}(1) = \sigma^{i-1}\tau(1)= \sigma^{i-1}\sigma^{k}(1)=\sigma^{k}\sigma^{i-1}(1)=\sigma^{k}(i)$ (l’identité $\tau \sigma^{i-1}= \sigma^{i-1}\tau$ utilisée dans le calcul découle facilement de l’hypothèse $\sigma \tau = \tau \sigma$ ). On obtient donc $\tau|_I=(\sigma|_I)^k$ . L’implication réciproque est facile.

exo7 2170