Supposons d’abord que \(x\) est solution. Remarquons d’abord que \(x\) est nécessairement positif, puisque \(\Arctan x\) a le même signe que \(x\). Alors, en prenant la tangente des deux membres, on obtient \(\tan\big(\Arctan(2x)+\Arctan(x)\big)=1\).

En utilisant la formule donnant la tangente d’une somme : \(\tan(a+b)=\frac{\tan a +\tan b}{1-\tan a \tan b}\), on obtient \(\frac{2x+x}{1-2x\cdot x}=1\), et finalement \(2x^2+3x-1=0\) qui admet une unique solution positive \(x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\). Ainsi, si l’équation de départ admet une solution, c’est nécessairement \(x_0\).

Or, en posant \(f(x)=\Arctan(2x)+\Arctan(x)\), la fonction \(f\) est continue sur \(\Rr\). Comme \(f(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{}-\pi\) et \(f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\pi\), on sait d’après le théorème des valeurs intermédiaires que \(f\) prend la valeur \(\frac{\pi}{4}\) au moins une fois (et en fait une seule fois, puisque \(f\) est strictement croissante comme somme de deux fonctions strictement croissantes). Ainsi l’équation de départ admet bien une solution, qui est \(x_0\).

exo7 749