Supposons d’abord que $x$ est solution. Remarquons d’abord que $x$ est nécessairement positif, puisque $\Arctan x$ a le même signe que $x$ . Alors, en prenant la tangente des deux membres, on obtient $\tan\big(\Arctan(2x)+\Arctan(x)\big)=1$ .

En utilisant la formule donnant la tangente d’une somme : $\tan(a+b)=\frac{\tan a +\tan b}{1-\tan a \tan b}$ , on obtient $\frac{2x+x}{1-2x\cdot x}=1$ , et finalement $2x^2+3x-1=0$ qui admet une unique solution positive $x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$ . Ainsi, si l’équation de départ admet une solution, c’est nécessairement $x_0$ .

Or, en posant $f(x)=\Arctan(2x)+\Arctan(x)$ , la fonction $f$ est continue sur $\Rr$ . Comme $f(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{}-\pi$ et $f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\pi$ , on sait d’après le théorème des valeurs intermédiaires que $f$ prend la valeur $\frac{\pi}{4}$ au moins une fois (et en fait une seule fois, puisque $f$ est strictement croissante comme somme de deux fonctions strictement croissantes). Ainsi l’équation de départ admet bien une solution, qui est $x_0$ .

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