Commençons par calculer \(\sin(\Arctan x)\), \(\cos(\Arctan x)\). On utilise l’identité \(1+\tan^2y=\frac 1{\cos^2 y}\) avec \(y = \Arctan x\), ce qui donne \(\cos^2 y = \frac{1}{1+x^2}\) et \(\sin^2 y = 1-\cos^2 y=\frac{x^2}{1+x^2}\). Il reste à déterminer les signes de \(\cos(\Arctan x)= \pm\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) et \(\sin(\Arctan x) = \pm\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) Or \(y=\Arctan x\) donc \(y\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) et \(y\) a le même signe que \(x\) : ainsi \(\cos y>0\), et \(\sin y\) a le même signe que \(y\) et donc que \(x\). Finalement, on a \(\cos(\Arctan x)= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) et \(\sin(\Arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).

Il ne reste plus qu’à linéariser \(\sin(3y)\) : \[\begin{aligned} \sin(3y) &=& \sin(2y+y)=\cos(2y)\sin(y)+\cos(y)\sin(2y)\\ &=&(2\cos^2 y-1)\sin y +2\sin y\cos^2y\\ &=&4 \sin y \cos^2 y - \sin y\end{aligned}\]

Maintenant \[\begin{aligned} \sin(3\Arctan x) &=& \sin(3y)= 4 \sin y \cos^2 y - \sin y\\ &=& 4{\frac {x}{\left (1+{x}^{2}\right )^{3/2}}}-{\frac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}}}={\frac {x(3-x^2)}{\left (1+{x}^{2}\right )^{3/2}}}\end{aligned}\]

Remarque : la méthode générale pour obtenir la formule de linéarisation de \(\sin(3y)\) est d’utiliser les nombres complexes et la formule de Moivre. On développe \[\cos(3y) + i \sin(3y) = (\cos y + i \sin y)^3 = \cos^3 y + 3i\cos^2y \sin y + \cdots\] puis on identifie les parties imaginaires pour avoir \(\sin(3y)\), ou les parties réelles pour avoir \(\cos(3y)\).

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