Commençons par calculer $\sin(\Arctan x)$ , $\cos(\Arctan x)$ . On utilise l’identité $1+\tan^2y=\frac 1{\cos^2 y}$ avec $y = \Arctan x$ , ce qui donne $\cos^2 y = \frac{1}{1+x^2}$ et $\sin^2 y = 1-\cos^2 y=\frac{x^2}{1+x^2}$ . Il reste à déterminer les signes de $\cos(\Arctan x)= \pm\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ et $\sin(\Arctan x) = \pm\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ Or $y=\Arctan x$ donc $y\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ et $y$ a le même signe que $x$ : ainsi $\cos y>0$ , et $\sin y$ a le même signe que $y$ et donc que $x$ . Finalement, on a $\cos(\Arctan x)= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ et $\sin(\Arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ .

Il ne reste plus qu’à linéariser $\sin(3y)$ : $\begin{aligned} \sin(3y) &=& \sin(2y+y)=\cos(2y)\sin(y)+\cos(y)\sin(2y)\\ &=&(2\cos^2 y-1)\sin y +2\sin y\cos^2y\\ &=&4 \sin y \cos^2 y - \sin y \end{aligned}$

Maintenant $\begin{aligned} \sin(3\Arctan x) &=& \sin(3y)= 4 \sin y \cos^2 y - \sin y\\ &=& 4{\frac {x}{\left (1+{x}^{2}\right )^{3/2}}}-{\frac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}}}={\frac {x(3-x^2)}{\left (1+{x}^{2}\right )^{3/2}}} \end{aligned}$

Remarque : la méthode générale pour obtenir la formule de linéarisation de $\sin(3y)$ est d’utiliser les nombres complexes et la formule de Moivre. On développe $\cos(3y) + i \sin(3y) = (\cos y + i \sin y)^3 = \cos^3 y + 3i\cos^2y \sin y + \cdots$ puis on identifie les parties imaginaires pour avoir $\sin(3y)$ , ou les parties réelles pour avoir $\cos(3y)$ .

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