Soit \(G\) un groupe ; on note, pour tout \(g \in G\) \(\varphi _g\) l’application \(x\mapsto gxg^{-1}\) de \(G\) dans lui-même et \(\hbox{Int}(G) =\{ \varphi _g ; g \in G \} .\)
1
Montrer que \(\hbox{Int}(G)\) est un sous-groupe distingué de \(\hbox{Aut}(G) .\)
2
Soit \(f : G\rightarrow \hbox{Int}(G)\) l’application \(g \mapsto \varphi _g .\) Montrer que \(f\) est un homomorphisme de groupe. Calculer \(\hbox{Ker}(f) .\)
3
En déduire que \(G/Z(G)\) est isomorphe à \(\hbox{Int}(G) .\)