Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
1
Montrer que \(n\) est pair, \(n=2p .\)
2
Calculer \(Sp_{\R}(A)\) et montrer \(Sp_{\C}(A)= \{ i,-i\} .\) Pour quelle raison \(A\) est elle diagonalisable sur \(\C\) ?
3
Montrer que si \(\{ y_1 , \ldots y_k \}\) est une base de \(E_i ,\) alors \(\{ \overline{y_1} , \ldots \overline{y_k} \}\) est une base de \(E_{-i} .\) Quelle est donc la valeur de \(k\) ?
4
Démontrer que \(A\) est semblable (dans \(M_n (\R )\)) à une matrice diagonale par blocs dont chacun des blocs diagonaux est \(\begin{pmatrix}0 & -1\cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .\) (on pourra utiliser la question 3.)