L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 1649

Soit $A\in M_n(\Rr)$ telle que $A^2=-I .$

Montrer que $n$ est pair, $n=2p .$

Calculer $Sp_{\R}(A)$ et montrer $Sp_{\C}(A)= \{ i,-i\} .$ Pour quelle raison $A$ est elle diagonalisable sur $\C$ ?

Montrer que si $\{ y_1 , \ldots y_k \}$ est une base de $E_i ,$ alors $\{ \overline{y_1} , \ldots \overline{y_k} \}$ est une base de $E_{-i} .$ Quelle est donc la valeur de $k$ ?

Démontrer que $A$ est semblable (dans $M_n (\R )$ ) à une matrice diagonale par blocs dont chacun des blocs diagonaux est $\begin{pmatrix}0 & -1\cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ (on pourra utiliser la question 3.)