Puisque les fonctions \(t\mapsto\left( \begin{array}{cc} - \frac{1}{2t}& \frac{1}{2t^2}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2}& \frac{1}{2t} \end{array} \right)\) et \(t\mapsto\left( \begin{array}{c} 2t\\ t^2 \end{array} \right)\) sont continues sur \(]0,+\infty[\), l’ensemble des solutions sur \(]0,+\infty[\) du système proposé est un \(\Rr\)-espace affine de dimension \(2\).

Résolution du système homogène associé. Le couple de fonctions \((x,y)=(1,t)\) est solution du système homogène associé sur \(]0,+\infty[\). Pour chaque réel strictement positif \(t\), les deux vecteurs \(\left( \begin{array}{c} 1\\ t \end{array} \right)\) et \(\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right)\) constituent une base de \(\mathcal{M}_2(\Rr)\) car \(\left| \begin{array}{cc} 1&0\\ t&1 \end{array} \right|=1\neq0\). Cherchons alors les solutions du système homogène sous la forme \(t\mapsto\alpha(t)\left( \begin{array}{c} 1\\ t \end{array} \right)+\beta(t)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \alpha(t)\\ t\alpha(t)+\beta(t) \end{array} \right)\).

\[\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} x'=- \frac{1}{2t}x+ \frac{1}{2t^2}y\\ y'= \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2t}y \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \alpha'=- \frac{1}{2t}\alpha+ \frac{1}{2t^2}(t\alpha+\beta)\\ \rule{0mm}{6mm}t\alpha'+\alpha+\beta'= \frac{1}{2}\alpha+ \frac{1}{2t}(t\alpha+\beta) \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \alpha'= \frac{\beta}{2t^2}\\ t\alpha'+\beta'= \frac{\beta}{2t} \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \alpha'= \frac{\beta}{2t^2}\\ \frac{\beta}{2t}+\beta'= \frac{\beta}{2t} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \beta'=0\\ \alpha'= \frac{\beta}{2t^2} \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall t\in]0,+\infty[,\;\left\{ \begin{array}{l} \beta(t)=\lambda\\ \alpha'(t)= \frac{\lambda}{2t^2} \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall t\in]0,+\infty[,\;\left\{ \begin{array}{l} \beta(t)=\lambda\\ \alpha(t)=- \frac{\lambda}{2t}+\mu \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall t\in]0,+\infty[,\;\left\{ \begin{array}{l} x(t)=- \frac{\lambda}{2t}+\mu\\ \rule{0mm}{6mm}y(t)= \frac{\lambda}{2}+\mu t \end{array} \right. \end{align*}\]

Maintenant, pour tout réel strictement positif \(t\), \(w(t)=\left| \begin{array}{cc} - \frac{1}{2t}&1\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2}&t \end{array} \right|=-1\neq0\) et donc les deux fonctions \(t\mapsto\left( \begin{array}{c} - \frac{1}{2t}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2} \end{array} \right)\) et \(t\mapsto\left( \begin{array}{c} 1\\ t \end{array} \right)\) sont deux solutions indépendantes du système homogène sur \(]0,+\infty[\). Les solutions sur \(]0,+\infty[\) du système homogène sont les fonctions de la forme \(t\mapsto\lambda\left( \begin{array}{c} - \frac{1}{2t}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2} \end{array} \right) +\mu\left( \begin{array}{c} 1\\ t \end{array} \right)\).

Recherche d’une solution particulière du système par la méthode de variations des constantes.

Il existe une solution particulière du système de la forme \(t\mapsto\lambda(t)\left( \begin{array}{c} - \frac{1}{2t}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2} \end{array} \right) +\mu(t)\left( \begin{array}{c} 1\\ t \end{array} \right)\) où \(\lambda\) et \(\mu\) sont deux fonctions dérivables sur \(]0,+\infty[\) telles que pour tout réel strictement positif \(t\), \(\lambda'(t)\left( \begin{array}{c} - \frac{1}{2t}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2} \end{array} \right) +\mu'(t)\left( \begin{array}{c} 1\\ t \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2t\\ t^2 \end{array} \right)\). Les formules de Cramer fournissent \(\lambda'(t)= \frac{1}{-1}\left| \begin{array}{cc} 2t&1\\ t^2&t \end{array} \right|=-t^2\) et \(\mu'(t)= \frac{1}{-1}\left| \begin{array}{cc} - \frac{1}{2t}&2t\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2}&t^2 \end{array} \right|= \frac{3t}{2}\). On peut prendre \(\lambda(t)=- \frac{t^3}{3}\) et \(\mu(t)= \frac{3t^2}{4}\) et on obtient la solution particulière \(X(t)=- \frac{t^3}{3}\left( \begin{array}{c} - \frac{1}{2t}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{1}{2} \end{array} \right) + \frac{3t^2}{4}\left( \begin{array}{c} 1\\ t \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 11t^2/12\\ 7t^3/12 \end{array} \right)\)

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