On considère l’équation différentielle ordinaire suivante :
\[\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in [0, T] \\ y(0) = y_0 \end{cases}\]
où \(f : [0, T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est une fonction suffisamment régulière (par exemple de classe \(C^2\)).
On se propose d’étudier la consistance du schéma numérique de Leapfrog défini par :
\[\begin{cases} t_n = n \cdot h, \quad n = 0, \ldots, N \\ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} f(t_n, y_n)) \end{cases}\]
où \(h = \frac{T}{N}\) est le pas de discrétisation en temps et \(N\) est un entier strictement positif.
On donne le développement de Taylor-Lagrange à l’ordre 1 pour une fonction \(g\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de deux variables \(x\) et \(y\) au voisinage du point \((x_0, y_0)\) est donné par :
\[g(x, y) = g(x_0, y_0) + \frac{\partial g}{\partial x}(x_0, y_0) (x - x_0) + \frac{\partial g}{\partial y}(x_0, y_0) (y - y_0) + R_1(x, y)\]
où \(R_1(x, y)\) est le reste du développement limité, qui vérifie :
\[R_1(x, y) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(\xi, \eta) (x - x_0)^2 + 2 \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(\xi, \eta) (x - x_0)(y - y_0) + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}(\xi, \eta) (y - y_0)^2 \right)\]
avec \((\xi, \eta)\) un point situé sur le segment reliant les points \((x_0, y_0)\) et \((x, y)\).
Justifier l’existence de \(\xi_n \in [t_n, t_{n+1}]\) tel que : \[y(t_{n+1}) = y(t_n + h) = y(t_n) + h \cdot f(t_n, y(t_n)) + \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)\]
Donne le développement de Taylor-Lagrange à l’ordre \(1\) de \(f(t_n + \frac{h}{2}, y(t_n) + \frac{h}{2} f(t_n, y(t_n)))\) au voisinage de \((t_n,y(t_n))\).
En déduire que le schéma de Leapfrogest consistant d’ordre au moins \(1\).