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Trouver les applications $f : {(\R^{+*})^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ vérifiant : $x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. On utilisera le changement de variables : $u = xy$, $v = \frac xy$.