Les primitives de la fonction $a(x)=2x$ sont les fonctions $A(x)= x^2/2 + k$ où $k \in \R$ est une constante réelle quelconque. Donc les solutions de l’équation homogène associée à $E$ sont toutes les fonctions définies sur $\R$ du type : $y(x)= ce^{-x^2}$ où $c\in\R$ est une constante arbitraire. On cherche maintenant une solution particulière de $E$ sous la forme $y_p(x)=c(x)e^{-x^2}$ (méthode de la variation de la constante). On a :
$y_p^\prime(x)+ 2xy_p(x)= c^\prime(x)e^{-x^2}$ . Donc $y_p$ est solution de $E$ si et seulement si : $c^\prime(x)=xe^{x^2}$ pour tout $x\in\R$ . On choisit la fonction $c$ parmi les primitives de la fonction $xe^{x^2}$ , par exemple : $c(x)=1/2e^{x^2}$ . Donc la fonction $y_p$ telle que $y_p(x)=1/2e^{x^2}e^{-x^2}=1/2$ est solution de $E$ .
Par conséquent les solutions de $E$ sont toutes les fonctions de la forme : $y(x)= ce^{-x^2} + \frac{1}{2} \; c \in\R .$ Pour $y$ solution de $E_1$ , la condition $y(0)=1$ équivaut à : $c=1/2$ .

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