Soit $f$ une éventuelle solution. $f$ est dérivable sur $\Rr$ et pour tout réel $x$ , $f'(x)=-f(-x)+e^{x}$ . On en déduit que $f'$ est dérivable sur $\Rr$ ou encore que $f$ est deux fois dérivable sur $\Rr$ . En dérivant l’égalité initiale, on obtient pour tout réel $x$

$f''(x)=f'(-x)+e^{x}=-f(x)+e^{-x}+e^x$ ,

et donc $f$ est solution sur $\Rr$ de l’équation différentielle $y''+y=2\ch(x)$ . Par suite, il existe $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$ tel que $\forall x\in\Rr$ , $f(x)=\ch(x)+\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)$ .

Réciproquement, soit $f$ une telle fonction. $f$ est dérivable sur $\Rr$ et pour tout réel $x$ ,

$f'(x)+f(-x)=(\sh(x)-\lambda\sin(x)+\mu\cos(x))+(\ch(x)+\lambda\cos(x)-\mu\sin(x))=e^x+(\lambda+\mu)(\cos(x)-\sin(x))$ ,

et $f$ est solution si et seulement si $\lambda+\mu=0$ .

Les fonctions solutions sont les fonctions de la forme $x\mapsto\ch(x)+\lambda(\cos(x)-\sin(x))$ , $\lambda\in\Rr$ .

exo7 5883