Soit \(f\) une éventuelle solution. \(f\) est dérivable sur \(\Rr\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-f(-x)+e^{x}\). On en déduit que \(f'\) est dérivable sur \(\Rr\) ou encore que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\Rr\). En dérivant l’égalité initiale, on obtient pour tout réel \(x\)

\(f''(x)=f'(-x)+e^{x}=-f(x)+e^{-x}+e^x\),

et donc \(f\) est solution sur \(\Rr\) de l’équation différentielle \(y''+y=2\ch(x)\). Par suite, il existe \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\) tel que \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=\ch(x)+\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)\).

Réciproquement, soit \(f\) une telle fonction. \(f\) est dérivable sur \(\Rr\) et pour tout réel \(x\),

\(f'(x)+f(-x)=(\sh(x)-\lambda\sin(x)+\mu\cos(x))+(\ch(x)+\lambda\cos(x)-\mu\sin(x))=e^x+(\lambda+\mu)(\cos(x)-\sin(x))\),

et \(f\) est solution si et seulement si \(\lambda+\mu=0\).

Les fonctions solutions sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\ch(x)+\lambda(\cos(x)-\sin(x))\), \(\lambda\in\Rr\).

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