On considère l’équation différentielle suivante : \[(E)\qquad y'-(1-\tan(x))y=\cos(x).\] On s’intéresse à cette équation sur l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).
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Écrire l’équation homogène associée à (E), puis résoudre cette équation sur l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).
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Quelle est la solution de l’équation homogène vérifiant la condition initiale \(y(0)=1\) ? On la note \(g_{0}\). Donner le tableau de variations de \(g_{0}\) sur l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\). Déterminer les limites aux bornes de l’intervalle. Tracer le graphe de \(g_{0}\).
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Tracer sur le même dessin, rapidement, les graphes des trois solutions de l’équation homogène vérifiant respectivement \(y(0) = 2\), \(y(0)=3\) , \(y(0) = -1\).