L’équation caractéristique associée à l’équation homogène est $r^2-4r+4=0$ , pour laquelle $r=2$ est racine double. Les solutions de l’équation homogène sont donc les $(\lambda x+\mu)e^{2x}$ .

Lorsque $d(x)=e^{-2x}$ , on cherche une solution particulière sous la forme $ae^{-2x}$ , qui convient si $a=\frac{1}{16}$ .

Lorsque $d(x)=e^{2x}$ , comme 2 est la racine double de l’équation caractéristique, on cherche une solution comme le produit de $e^{2x}$ par un polynôme de degré 2. Comme on sait déjà que $(\lambda x+\mu)e^{2x}$ est solution de l’équation homogène, il est inutile de faire intervenir des termes de degré $1$ et $0$ : on cherche donc une solution de la forme $ax^2e^{2x}$ , qui convient si et seulement si $a=\frac{1}{2}$ .

Puisque $\frac{1}{2}\ch(2x) =\frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x})$ , les solutions générales sont obtenues sous la forme $y(x)=\frac{1}{64}e^{-2x}+\frac{1}{8}x^2e^{2x}+(\lambda x+\mu)e^{2x}$ .

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