L’équation caractéristique associée à l’équation homogène est \(r^2-4r+4=0\), pour laquelle \(r=2\) est racine double. Les solutions de l’équation homogène sont donc les \((\lambda x+\mu)e^{2x}\).

Lorsque \(d(x)=e^{-2x}\), on cherche une solution particulière sous la forme \(ae^{-2x}\), qui convient si \(a=\frac{1}{16}\).

Lorsque \(d(x)=e^{2x}\), comme 2 est la racine double de l’équation caractéristique, on cherche une solution comme le produit de \(e^{2x}\) par un polynôme de degré 2. Comme on sait déjà que \((\lambda x+\mu)e^{2x}\) est solution de l’équation homogène, il est inutile de faire intervenir des termes de degré \(1\) et \(0\): on cherche donc une solution de la forme \(ax^2e^{2x}\), qui convient si et seulement si \(a=\frac{1}{2}\).

Puisque \(\frac{1}{2}\ch(2x) =\frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x})\), les solutions générales sont obtenues sous la forme \(y(x)=\frac{1}{64}e^{-2x}+\frac{1}{8}x^2e^{2x}+(\lambda x+\mu)e^{2x}\).

exo7 6998