Soient \(a,b,c \in \R\) non tous nuls. On considère l’équation aux dérivées partielles : \[(*) \Leftrightarrow a\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + b\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0\] où \(f\) est une fonction inconnue : \({\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Soient \(\alpha,\beta\in \R\) distincts, fixés. On fait le changement de variable : \(u = x+\alpha y\), \(v = x+\beta y\).
Écrire l’équation déduite de \((*)\) par ce changement de variable.
En déduire que l’on peut ramener \((*)\) à l’une des trois formes réduites :
\((1) : \frac{\partial^2 g}{\partial u \partial v} = 0\), \((2) : \frac{\partial^2 g}{\partial u^2} = 0\), \((3) : \frac{\partial^2 g}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial v^2} = 0\).