L2 Analyse Equation différentielle Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

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Soient a,b,c∈Ra,b,c \in \R non tous nuls. On considère l’équation aux dérivées partielles : (∗)⇔a∂2f∂x2+b∂2f∂x∂y+c∂2f∂y2=0(*) \Leftrightarrow a\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + b\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 où ff est une fonction inconnue : R2→R{\R^2} \to \R de classe C2\mathcal{C}^2. Soient α,β∈R\alpha,\beta\in \R distincts, fixés. On fait le changement de variable : u=x+αyu = x+\alpha y, v=x+βyv = x+\beta y.

1

Écrire l’équation déduite de (∗)(*) par ce changement de variable.

2

En déduire que l’on peut ramener (∗)(*) à l’une des trois formes réduites :

(1):∂2g∂u∂v=0(1) : \frac{\partial^2 g}{\partial u \partial v} = 0, (2):∂2g∂u2=0(2) : \frac{\partial^2 g}{\partial u^2} = 0, (3):∂2g∂u2+∂2g∂v2=0(3) : \frac{\partial^2 g}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial v^2} = 0.

Exercice Baj9

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