Soient \(f : {\R^2} \to \R, {(t,x)} \mapsto {f(t,x)}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), et \(a,b\) des réels tels que \(a<b\). On suppose que \(f\) est \(T\)-périodique par rapport à \(t\) et que l’on a : \(\forall\ t\in\R^+,\ f(t,a)>0\text{ et }f(t,b)<0\).
1
Que peut-on dire des solutions du problème de Cauchy \(E_y\) : \(( x'(t)=f(t,x(t)),\ x(0)=y\in [a,b])\) ?
2
Montrer que toute solution maximale est définie sur \(\R^+\) et à valeurs dans \([a,b]\).
3
Montrer qu’il existe une solution de \(E_y\) qui est \(T\)-périodique.