1
Trouver les fonctions \(g : {\{(u,v)\in\R^2\text{ tq } u > v\}} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) vérifiant : \(\frac{\partial }{\partial u}\Bigl(g+v\frac{\partial g}{\partial v}\Bigr) = \frac{\partial}{\partial v}\Bigl(g+u\frac{\partial g}{\partial u}\Bigr)\)
(penser au théorème de Poincaré).
2
Résoudre sur \(\R^{+*}\times\R\) l’équation : \(x^4 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0\) en posant \(u = y+\frac 1x\), \(v = y-\frac 1x\).