Soit \(n>0\) et \((S)\Leftrightarrow\begin{cases}x'(t) = \frac2nx(t)y(t)\cr y'(t) = -x^2(t)+y^2(t).\cr\end{cases}\)
Soit \(\gamma\) : \(t \mapsto(x(t),y(t))\) une solution de \((S)\). Trouver une autre solution présentant une symétrie avec \(\gamma\). Peut-on avoir comme solution \(\sigma(t) = \lambda\gamma(\mu t)\) ? En déduire une propriété géométriques des solutions maximales de \((S)\).
Déterminer les courbes du plan formées des points \((x_0,y_0)\) où les solutions de \((S)\) ont des tangentes parallèles aux axes \((Ox)\) et \((Oy)\). En déduire quelques solutions particulières.
A supposer qu’il existe \(\Phi : {I\subset \R} \to \R\) telle que \(\gamma(t) = (x(t),y(t))\) vérifie \(y(t) = \Phi(x(t))\), déterminer \(\Phi\) et en déduire toutes les courbes intégrales.