On désigne par \(y\) la solution de l’équation différentielle \(y'' + x\ y' + y = 0\), avec les conditions de Cauchy \(y(0) = 0, y'(0) = 1\).
1
Montrer que les dérivées de \(y\) vérifient \(y^{(n)} + x\ y^{(n-1)} + (n-1)\ y^{(n-2)} = 0, \quad \forall n \geq 2\).
2
Calculer par récurrence les dérivées successives de \(y\) en zéro.
3
Montrer que \(y\) admet le développement limité à l’origine \((x \to 0)\):
\[y(x) = x - \frac{2 x^3}{3!} + \frac{8x^5}{5!} +\dots + \frac{(-2)^kk!\,x^{2k+1}}{(2 k+1)!} + o(x^{2k+2}).\]