Les solutions de l’équation homogène associée \(y'-y=0\) sont les \(y(x)=\lambda e^{x}\), \(\lambda\in\R\). On remarque que le second membre est le produit d’une fonction exponentielle par une fonction polynomiale de degré \(d=1\): or la fonction exponentielle du second membre est la même (\(e^x\)) que celle qui apparaît dans les solutions de l’équation homogène. On cherche donc une solution particulière sous la forme d’un produit de \(e^x\) par une fonction polynomiale de degré \(d+1=2\):
\(y_0(x)=(ax^2+bx+c)e^x\) est solution de \((E_3)\)
\(\Longleftrightarrow \forall x\in\R,\ y_0'(x)-y_0(x)=(x+1)e^x\)
\(\Longleftrightarrow \forall x\in\R,\ (2ax+b)e^x=(x+1)e^x\)

Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit que \(y_0(x)=(\frac{1}{2}x^2+x)e^x\) convient.

Les solutions de \((E_3)\) sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de l’équation homogène: \[y(x)=(\frac{1}{2}x^2+x+\lambda)e^{x}\quad (x\in\R)\] où \(\lambda\) est un paramètre réel.

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