Les solutions de l’équation homogène associée $y'+y=0$ sont les $y(x)=\lambda e^{-x}$ , $\lambda\in\R$ . On remarque que le second membre est la somme d’une fonction polynomiale de degré 1, d’une fonction exponentielle (différente de $e^{-x}$ ) et d’une fonction trigonométrique. D’après le principe de superposition, on cherche donc une solution particulière sous la forme d’une telle somme:
$y_0(x)=ax+b+\mu e^x+\alpha\cos x+\beta\sin x$ est solution de $(E_4)$
$\Longleftrightarrow \forall x\in\R,\ y_0'(x)+y_0(x)=x-e^x+\cos x$
$\Longleftrightarrow \forall x\in\R,\ ax+a+b+2\mu e^x+(\alpha+\beta)\cos x+(-\alpha +\beta)\sin x=x-e^x+\cos x$

Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit que $y_0(x)=x-1-\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$ convient.

Les solutions de $(E_4)$ sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de l’équation homogène: $y(x)=x-1-\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x+\lambda e^{-x}\quad (x\in\R)$ où $\lambda$ est un paramètre réel.

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