Supposons \(t>t_{0}\) tel que \(x^{2}(t)-t\ge0\). On peut alors poser \(t_{1}=\min \{ t>t_{0}\,|\,x^{2}(t)-t>0\}\). On a alors \(x^{2}(t_{1})-t_{1}=0\). Si \(x(t_{1})=\sqrt{t_{1}}\), on étudie la fonction \(y(t)=x(t)-\sqrt t\). On a \(y'(t_{1})=-\frac{1}{2\sqrt {t_{1}}}<0\). Cela contredit le fait que, pour tout \(t\in [t_{0},t_{1}[\), \(y(t)<0\). De même si \(x(t_{1})=-\sqrt{t_{1}}\), on étudie la fonction \(z(t)=x(t)+\sqrt t\) et on aboutit à une contradiction. Par conséquent la courbe intégrale reste dans \(D_{0}\). Si la solution maximale (à droite) est définie sur \([t_{0},\beta[\), avec \(\beta \in \R\), alors pour tout \(t\in [t_{0},\beta[\), \(-\beta\le x'(t)\le 0\). On en déduit que \(x'\) est intégrable sur \([t_{0},\beta[\) et donc que \(x(t)\) admet une limite finie quand \(t\) tend vers \(\beta\). On prolonge la fonction en \(\beta\) et la fonction prolongée vérifie \((E)\) sur \([t_{0},\beta]\) ce qui est impossible. On en déduit que \(\beta =+\infty\). On a, pour tout \(t\ge t_{0}\), \(x'(t)<0\), donc \(x\) est décroissante. Si \(x(t)\) a une limite \(\ell \in \R\) en \(+\infty\) alors \(x'(t)\mathop{\sim}\limits_{t\to +\infty}-t\), ce qui est impossible. Par conséquent \(x(t)\to -\infty\) (lorsque \(t\to +\infty\)). En particulier, pour \(t\) assez grand, \(x(t)\le 0\). En dérivant \((E)\) on a \(x''(t)=2x(t)(x^{2}(t)-t)-1\). Si, à partir d’un certain rang, pour tout \(t\), \(x''(t)\ge 0\) alors \(x'\) est croissante et majorée. Elle ne peut tendre que vers \(0\) car sinon \(x'(t) \sim \ell\), puis \(x(t)\sim \ell t\) et \(x'(t)\sim \ell ^{2} t^{2}\). Sinon il existe \(t_{1}\) tel que \(x''(t_{1})<0\). S’il existe \(t_{2}>t_{1}\) tel que \(x''(t_{2})=0\) (avec \(t_{2}\) minimal) alors \(x'''(t_{2})=2x+\frac{1}{2x^{2}}\) qui est négatif pour \(t\) assez grand. Ceci est impossible et donc dans ce cas \(x''(t)\) reste négatif lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\), on a alors \(0<t-x^{2}(t)\le \frac{-1}{2x(t)}\cdotp\) Par conséquent \(x^{2}(t)-t\to 0\) lorsque \(t\to +\infty\), on en déduit que \(x(t)\mathop{\sim}\limits_{t\to +\infty}-\sqrt t\).

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