Supposons $t>t_{0}$ tel que $x^{2}(t)-t\ge0$ . On peut alors poser $t_{1}=\min \{ t>t_{0}\,|\,x^{2}(t)-t>0\}$ . On a alors $x^{2}(t_{1})-t_{1}=0$ . Si $x(t_{1})=\sqrt{t_{1}}$ , on étudie la fonction $y(t)=x(t)-\sqrt t$ . On a $y'(t_{1})=-\frac{1}{2\sqrt {t_{1}}}<0$ . Cela contredit le fait que, pour tout $t\in [t_{0},t_{1}[$ , $y(t)<0$ . De même si $x(t_{1})=-\sqrt{t_{1}}$ , on étudie la fonction $z(t)=x(t)+\sqrt t$ et on aboutit à une contradiction. Par conséquent la courbe intégrale reste dans $D_{0}$ . Si la solution maximale (à droite) est définie sur $[t_{0},\beta[$ , avec $\beta \in \R$ , alors pour tout $t\in [t_{0},\beta[$ , $-\beta\le x'(t)\le 0$ . On en déduit que $x'$ est intégrable sur $[t_{0},\beta[$ et donc que $x(t)$ admet une limite finie quand $t$ tend vers $\beta$ . On prolonge la fonction en $\beta$ et la fonction prolongée vérifie $(E)$ sur $[t_{0},\beta]$ ce qui est impossible. On en déduit que $\beta =+\infty$ . On a, pour tout $t\ge t_{0}$ , $x'(t)<0$ , donc $x$ est décroissante. Si $x(t)$ a une limite $\ell \in \R$ en $+\infty$ alors $x'(t)\mathop{\sim}\limits_{t\to +\infty}-t$ , ce qui est impossible. Par conséquent $x(t)\to -\infty$ (lorsque $t\to +\infty$ ). En particulier, pour $t$ assez grand, $x(t)\le 0$ . En dérivant $(E)$ on a $x''(t)=2x(t)(x^{2}(t)-t)-1$ . Si, à partir d’un certain rang, pour tout $t$ , $x''(t)\ge 0$ alors $x'$ est croissante et majorée. Elle ne peut tendre que vers $0$ car sinon $x'(t) \sim \ell$ , puis $x(t)\sim \ell t$ et $x'(t)\sim \ell ^{2} t^{2}$ . Sinon il existe $t_{1}$ tel que $x''(t_{1})<0$ . S’il existe $t_{2}>t_{1}$ tel que $x''(t_{2})=0$ (avec $t_{2}$ minimal) alors $x'''(t_{2})=2x+\frac{1}{2x^{2}}$ qui est négatif pour $t$ assez grand. Ceci est impossible et donc dans ce cas $x''(t)$ reste négatif lorsque $t$ tend vers $+\infty$ , on a alors $0<t-x^{2}(t)\le \frac{-1}{2x(t)}\cdotp$ Par conséquent $x^{2}(t)-t\to 0$ lorsque $t\to +\infty$ , on en déduit que $x(t)\mathop{\sim}\limits_{t\to +\infty}-\sqrt t$ .

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