\(y' - (2x - \frac{1}{x})y = 1\) sur \(]0;+\infty[\) Résolution de l’équation homogène \(y' - (2x - \frac{1}{x})y = 0\). Une primitive de \(a(x) = 2x - \frac1x\) est \(A(x) = x^2 - \ln x\), donc les solutions de l’équation homogène sont les \(y(x) = \lambda \exp(x^2 - \ln x) = \lambda \frac1x\exp(x^2)\), pour \(\lambda\) une constante réelle quelconque. Recherche d’une solution particulière. Nous allons utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière à l’équation \(y' - (2x - \frac{1}{x})y = 1\). On cherche une telle solution sous la forme \(y_0(x) = \lambda(x) \frac1x\exp(x^2)\) où \(x \mapsto \lambda(x)\) est maintenant une fonction. On calcule d’abord \[y_0'(x) = \lambda'(x) \frac1x\exp(x^2) + \lambda(x) \left(-\frac{1}{x^2}+2\right) \exp(x^2)\] Maintenant : \[\begin{align*} & y_0 \quad \text{ est solution de } y' - (2x + \frac{1}{x})y = 1 \\ \iff & y_0' - (2x - \frac{1}{x})y_0 = 1 \\ \iff& \lambda'(x) x\exp(x^2) + \lambda(x) \left(-\frac{1}{x^2}+2\right) \exp(x^2) - (2x - \frac{1}{x})\lambda(x) \frac1x\exp(x^2) = 1 \\ \iff& \lambda'(x) \frac1x\exp(x^2) = 1 \qquad \text{cela doit se simplifier !}\\ \iff& \lambda'(x) = x\exp(-x^2) \end{align*}\] Ainsi on peut prendre \(\lambda(x) = -\frac12\exp(x^2)\), ce qui fournit la solution particulière : \[y_0(x) = \lambda(x) \frac1x\exp(x^2) = -\frac12\exp(-x^2)\frac1x\exp(x^2) = -\frac1{2x}\] Pour se rassurer, on n’oublie pas de vérifier que c’est bien une solution ! Solution générale. L’ensemble des solutions s’obtient par la somme de la solution particulière avec les solutions de l’équation homogène. Autrement dit, les solutions sont les : \[y(x) = -\frac1{2x} + \lambda \frac1x\exp(x^2)\qquad (\lambda\in\Rr).\]

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