$y' - (2x - \frac{1}{x})y = 1$ sur $]0;+\infty[$ Résolution de l’équation homogène $y' - (2x - \frac{1}{x})y = 0$ . Une primitive de $a(x) = 2x - \frac1x$ est $A(x) = x^2 - \ln x$ , donc les solutions de l’équation homogène sont les $y(x) = \lambda \exp(x^2 - \ln x) = \lambda \frac1x\exp(x^2)$ , pour $\lambda$ une constante réelle quelconque. Recherche d’une solution particulière. Nous allons utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière à l’équation $y' - (2x - \frac{1}{x})y = 1$ . On cherche une telle solution sous la forme $y_0(x) = \lambda(x) \frac1x\exp(x^2)$ où $x \mapsto \lambda(x)$ est maintenant une fonction. On calcule d’abord $y_0'(x) = \lambda'(x) \frac1x\exp(x^2) + \lambda(x) \left(-\frac{1}{x^2}+2\right) \exp(x^2)$ Maintenant : $\begin{align*} & y_0 \quad \text{ est solution de } y' - (2x + \frac{1}{x})y = 1 \\ \iff & y_0' - (2x - \frac{1}{x})y_0 = 1 \\ \iff& \lambda'(x) x\exp(x^2) + \lambda(x) \left(-\frac{1}{x^2}+2\right) \exp(x^2) - (2x - \frac{1}{x})\lambda(x) \frac1x\exp(x^2) = 1 \\ \iff& \lambda'(x) \frac1x\exp(x^2) = 1 \qquad \text{cela doit se simplifier !}\\ \iff& \lambda'(x) = x\exp(-x^2) \end{align*}$ Ainsi on peut prendre $\lambda(x) = -\frac12\exp(x^2)$ , ce qui fournit la solution particulière : $y_0(x) = \lambda(x) \frac1x\exp(x^2) = -\frac12\exp(-x^2)\frac1x\exp(x^2) = -\frac1{2x}$ Pour se rassurer, on n’oublie pas de vérifier que c’est bien une solution ! Solution générale. L’ensemble des solutions s’obtient par la somme de la solution particulière avec les solutions de l’équation homogène. Autrement dit, les solutions sont les : $y(x) = -\frac1{2x} + \lambda \frac1x\exp(x^2)\qquad (\lambda\in\Rr).$

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