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Soient ${f,g}: \R \to \R$ continues et $k>0$, $t_0\in\R$ tels que : $\forall\ t\ge t_0,\ f(t)\le g(t) + k \int_{u=t_0}^t f(u)\,d u$.

Montrer que : $\forall\ t\ge t_0,\ f(t) \le g(t) + k \int_{u=t_0}^t e^{k(t-u)}g(u)\,d u$.

Soient ${A,B} : \R\to {\mathcal{M}_n(\R)}$ continues, $T>t_0$, $K>0$ et $\eta>0$ tels que : $\forall\ t\in[t_0,T],\ \|\kern-1.2pt|A(t)\|\kern-1.2pt|\le K$ et $\|\kern-1.2pt|A(t)-B(t)\|\kern-1.2pt|\le\eta$. On note $M_0$ (resp. $N_0$) la solution du problème de Cauchy : $M(t_0)=I,\ M'(t) = A(t)M(t)$ (resp. $N(t_0)=I,\ N'(t) = B(t)N(t)$). Montrer que : $\forall\ t\in[t_0,T],\ \|\kern-1.2pt|M_0(t)-N_0(t)\|\kern-1.2pt| \le e^{K(t-t_0)}(e^{\eta(t-t_0)}-1)$.

On note $X_0$ (resp. $Y_0$) la solution du problème de Cauchy dans $\R^n$ : $X(t_0) = \alpha,\ X'(t) = A(t)X(t)$ (resp. $Y(t_0) = \alpha,\ Y'(t) = B(t)Y(t)$) où $\alpha\in\R^n$. Quelle majoration a-t-on sur $\|X_0(t)-Y_0(t)\|$ ?