Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), \(t_0\in\R\) tels que : \(\forall\ t\ge t_0,\ f(t)\le g(t) + k \int_{u=t_0}^t f(u)\,d u\).
Montrer que : \(\forall\ t\ge t_0,\ f(t) \le g(t) + k \int_{u=t_0}^t e^{k(t-u)}g(u)\,d u\).
Soient \({A,B} : \R\to {\mathcal{M}_n(\R)}\) continues, \(T>t_0\), \(K>0\) et \(\eta>0\) tels que : \(\forall\ t\in[t_0,T],\ \|\kern-1.2pt|A(t)\|\kern-1.2pt|\le K\) et \(\|\kern-1.2pt|A(t)-B(t)\|\kern-1.2pt|\le\eta\). On note \(M_0\) (resp. \(N_0\)) la solution du problème de Cauchy : \(M(t_0)=I,\ M'(t) = A(t)M(t)\) (resp. \(N(t_0)=I,\ N'(t) = B(t)N(t)\)). Montrer que : \(\forall\ t\in[t_0,T],\ \|\kern-1.2pt|M_0(t)-N_0(t)\|\kern-1.2pt| \le e^{K(t-t_0)}(e^{\eta(t-t_0)}-1)\).
On note \(X_0\) (resp. \(Y_0\)) la solution du problème de Cauchy dans \(\R^n\) : \(X(t_0) = \alpha,\ X'(t) = A(t)X(t)\) (resp. \(Y(t_0) = \alpha,\ Y'(t) = B(t)Y(t)\)) où \(\alpha\in\R^n\). Quelle majoration a-t-on sur \(\|X_0(t)-Y_0(t)\|\) ?