Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement positive sur \(I\).
On pose \(E=\{f\in \mathcal{C}^2(I) \, |\, f(a)=f(b)=0\}\). On considère enfin l’opérateur \(K:f\mapsto \frac{f''}{\Delta}\cdotp\)
Montrer que Sp\((K)\subset {]-\infty,0[}\).
Trouver un produit scalaire \((\ \mid\ )\) pour lequel deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
On suppose que \(I=\R^+\) et que \(\Delta (x)\ge 1\) pour \(x\ge 2\). Soit \(\lambda <0\).
Montrer qu’il existe une unique \(f_{\lambda}\in \mathcal{C}^1(\R^+,\R)\) telle \(\begin{cases}f''_{\lambda}=\lambda \Delta f_\lambda\cr f_{\lambda}(0)=0\cr f'_{\lambda}(0)=1.\cr\end{cases}\)
Montrer \(f_{\lambda}\) a une infinité dénombrable de zéros \((x_0<x_1<\dots <x_n<\dots)\) et que la suite \((x_n)\) tend vers \(+\infty\).