L2 Analyse Equation différentielle Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 5 questions

exo7 4104

Soit $I=[a,b]\subset \R$ . On suppose que la fonction $\Delta$ est strictement positive sur $I$ .

On pose $E=\{f\in \mathcal{C}^2(I) \, |\, f(a)=f(b)=0\}$ . On considère enfin l’opérateur $K:f\mapsto \frac{f''}{\Delta}\cdotp$

Montrer que Sp $(K)\subset {]-\infty,0[}$ .

Trouver un produit scalaire $(\ \mid\ )$ pour lequel deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

On suppose que $I=\R^+$ et que $\Delta (x)\ge 1$ pour $x\ge 2$ . Soit $\lambda <0$ .

Montrer qu’il existe une unique $f_{\lambda}\in \mathcal{C}^1(\R^+,\R)$ telle $\begin{cases}f''_{\lambda}=\lambda \Delta f_\lambda\cr f_{\lambda}(0)=0\cr f'_{\lambda}(0)=1.\cr\end{cases}$

Montrer $f_{\lambda}$ a une infinité dénombrable de zéros $(x_0<x_1<\dots <x_n<\dots)$ et que la suite $(x_n)$ tend vers $+\infty$ .