Équation \(xy'+y-xy^3 = 0\).

Cherchons les solutions \(y\) qui ne s’annulent pas. On peut alors diviser par \(y^3\) pour obtenir : \[x \frac{y'}{y^3} + \frac{1}{y^2} - x=0\] On pose \(z(x) = \frac{1}{y^2(x)}\), et donc \(z'(x) = -2\frac{y'(x)}{y(x)^3}\). L’équation différentielle s’exprime alors \(\frac{-1}{2} xz'+z -x = 0\), c’est-à-dire : \[xz'-2z = -2x.\] Les solutions sur \(\Rr\) de cette dernière équation sont les \[z(x) =\begin{cases} \lambda_+ x^2+2x\ \text{si}\ x\ge 0 \cr\lambda_- x^2+2x\ \text{si}\ x< 0 \end{cases} ,\quad\lambda_+,\lambda_- \in \Rr\]

Comme on a posé \(z(x) = \frac{1}{y^2(x)}\), on se retreint à un intervalle \(I\) sur lequel \(z(x)>0\): nécessairement \(0\notin I\), donc on considère \(z(x)=\lambda x^2+2x\), qui est strictement positif sur \(I_\lambda\) où \[I_\lambda=\begin{cases} ]0;+\infty[\quad\text{si}\ \lambda=0\\ \left]0;-\frac{2}{\lambda}\right[\quad\text{si}\ \lambda<0\\ \left]-\infty;-\frac{2}{\lambda}\right[\ \mathrm{ou}\ \left]0;+\infty\right[\quad\text{si}\ \lambda>0 \end{cases}\] On a \((y(x))^2 = \frac{1}{z(x)}\) pour tout \(x\in I_\lambda\) et donc \(y(x) = \epsilon(x)\frac{1}{\sqrt{z(x)}}\), où \(\epsilon(x)=\pm 1\). Or \(y\) est continue sur l’intervalle \(I_\lambda\), et ne s’annule pas par hypothèse: d’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(y\) ne peut pas prendre à la fois des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives, donc \(\epsilon(x)\) est soit constant égal à \(1\), soit constant égal à \(-1\). Ainsi les solutions cherchées sont les : \[y(x) = \frac{1}{\sqrt{\lambda x^2 + 2x}}\ \mathrm{ou}\ y(x) = \frac{-1}{\sqrt{\lambda x^2 + 2x}}\quad\mathrm{sur}\ I_\lambda\qquad (\lambda\in \Rr)\]

Noter que la solution nulle est aussi solution.

exo7 7001