Équation $xy'+y-xy^3 = 0$ .

Cherchons les solutions $y$ qui ne s’annulent pas. On peut alors diviser par $y^3$ pour obtenir : $x \frac{y'}{y^3} + \frac{1}{y^2} - x=0$ On pose $z(x) = \frac{1}{y^2(x)}$ , et donc $z'(x) = -2\frac{y'(x)}{y(x)^3}$ . L’équation différentielle s’exprime alors $\frac{-1}{2} xz'+z -x = 0$ , c’est-à-dire : $xz'-2z = -2x.$ Les solutions sur $\Rr$ de cette dernière équation sont les $z(x) =\begin{cases} \lambda_+ x^2+2x\ \text{si}\ x\ge 0 \cr\lambda_- x^2+2x\ \text{si}\ x< 0 \end{cases} ,\quad\lambda_+,\lambda_- \in \Rr$

Comme on a posé $z(x) = \frac{1}{y^2(x)}$ , on se retreint à un intervalle $I$ sur lequel $z(x)>0$ : nécessairement $0\notin I$ , donc on considère $z(x)=\lambda x^2+2x$ , qui est strictement positif sur $I_\lambda$ où $I_\lambda=\begin{cases} ]0;+\infty[\quad\text{si}\ \lambda=0\\ \left]0;-\frac{2}{\lambda}\right[\quad\text{si}\ \lambda<0\\ \left]-\infty;-\frac{2}{\lambda}\right[\ \mathrm{ou}\ \left]0;+\infty\right[\quad\text{si}\ \lambda>0 \end{cases}$ On a $(y(x))^2 = \frac{1}{z(x)}$ pour tout $x\in I_\lambda$ et donc $y(x) = \epsilon(x)\frac{1}{\sqrt{z(x)}}$ , où $\epsilon(x)=\pm 1$ . Or $y$ est continue sur l’intervalle $I_\lambda$ , et ne s’annule pas par hypothèse: d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $y$ ne peut pas prendre à la fois des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives, donc $\epsilon(x)$ est soit constant égal à $1$ , soit constant égal à $-1$ . Ainsi les solutions cherchées sont les : $y(x) = \frac{1}{\sqrt{\lambda x^2 + 2x}}\ \mathrm{ou}\ y(x) = \frac{-1}{\sqrt{\lambda x^2 + 2x}}\quad\mathrm{sur}\ I_\lambda\qquad (\lambda\in \Rr)$

Noter que la solution nulle est aussi solution.

exo7 7001