L2 Analyse Equation différentielle Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 5 questions

exo7 4072

Soit $A$ un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $2n$ on fait correspondre le polynôme $Q = AP' - nA'P$ .

Montrer qu’on définit ainsi un endomorphisme $\Phi$ de $\R_{2n}[X]$ .

Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $\Phi$ dans les cas particuliers :

$A = X^2-1$ ,

$A = X^2$ ,

$A = X^2+1$ .