Soit l’équation différentielle sur \([0,1]\): \[(E) \begin{cases} y'(t) = f(t,y(t)) \\ y(0) = 0, \end{cases}\] où \[f(t,y)=\sin\left((t+y)^2\right).\]
Justifier l’existence et l’unicité locale d’une solution \(y\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
Justifier le caractère borné de \(y\).
Justifier l’existence et l’unicité globale d’une solution \(y\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
Pour approcher la solution de \((E)\), on propose le schéma numérique suivant : \(h=1/N\), \(t_n=nh\), \(y_0=0\) et \[(S) \colon y_{n+1} = y_n + \frac{h}{4}\left( f(t_n,y_n)+3f\left(t_n+ \frac{2h}{3},y_n+\frac{2h}{3}f(t_n,y_n) \right) \right)\]
Démontrer que ce schéma est convergent.
Vérifier que ce schéma est consistant d’ordre 2.
Proposer un algorithme qui donne une approximation de $y(1)$ pour $h = 10^{-6}$ en utilisant le schéma numérique ci-dessus.