D’après le théorème d’unicité de Cauchy-Lipschitz, s’il existe $t_0$ tel que $x(t_0)=0$ alors $x(t)=0$ pour tout $t$ , et de même pour $y$ . Ainsi, si on fixe une condition initiale $x(0)>0$ , $y(0)>0$ alors $x(t)>0$ et ${y(t)>0}$ pour tout $t$ . De plus, par le même raisonnement, si $(x(0),y(0))\ne(1,1)$ alors $(x(t),y(t))\ne(1,1)$ pour tout $t$ . Désormais on suppose ces conditions satisfaites. Soit $k=f(x(0),y(0))=x(0)+y(0)-\ln(x(0)y(0))$ . Par étude de fonction, on voit que $k\ne 2$ et la courbe $C_k$ d’équation $f(x,y)=k$ est une courbe fermée de classe $\mathcal{C}^1$ entourant le point $(1,1)$ . Le point $M_t=(x(t),y(t))$ se déplace sur $C_k$ avec une vitesse numérique ${d s/d t = \sqrt{x^2(1-y)^2 + y^2(x-1)^2}\ge\alpha_k>0}$ où $\alpha_k$ ne dépend que de $k$ . On en déduit qu’une abscisse curviligne de $M_t$ décrit $\R$ quand $t$ décrit $\R$ . En particulier il existe $t_0>0$ tel que $s(t_0)-s(0)=\mathrm{longueur}(C_k)$ ce qui implique $M_{t_0}=M_0$ et le mouvement est $t_0$ -périodique.

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