D’après le théorème d’unicité de Cauchy-Lipschitz, s’il existe \(t_0\) tel que \(x(t_0)=0\) alors \(x(t)=0\) pour tout \(t\), et de même pour \(y\). Ainsi, si on fixe une condition initiale \(x(0)>0\), \(y(0)>0\) alors \(x(t)>0\) et \({y(t)>0}\) pour tout \(t\). De plus, par le même raisonnement, si \((x(0),y(0))\ne(1,1)\) alors \((x(t),y(t))\ne(1,1)\) pour tout \(t\). Désormais on suppose ces conditions satisfaites. Soit \(k=f(x(0),y(0))=x(0)+y(0)-\ln(x(0)y(0))\). Par étude de fonction, on voit que \(k\ne 2\) et la courbe \(C_k\) d’équation \(f(x,y)=k\) est une courbe fermée de classe \(\mathcal{C}^1\) entourant le point \((1,1)\). Le point \(M_t=(x(t),y(t))\) se déplace sur \(C_k\) avec une vitesse numérique \({d s/d t = \sqrt{x^2(1-y)^2 + y^2(x-1)^2}\ge\alpha_k>0}\) où \(\alpha_k\) ne dépend que de \(k\). On en déduit qu’une abscisse curviligne de \(M_t\) décrit \(\R\) quand \(t\) décrit \(\R\). En particulier il existe \(t_0>0\) tel que \(s(t_0)-s(0)=\mathrm{longueur}(C_k)\) ce qui implique \(M_{t_0}=M_0\) et le mouvement est \(t_0\)-périodique.

exo7 4135