L’équation caractéristique de l’équation homogène \(y''-2y'+2y=0\) est \(r^2-2r+2=0\) dont les racines sont \(1-i\) et \(1+i\). Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions de la forme \(x\mapsto e^x(\lambda\cos x+\mu\sin x),\;(\lambda,\mu)\in\Rr^2\). L’équation avec second membre s’écrit

\[y''-2y'+2y= \frac{x}{4}(e^{(1+i)x}+e^{(-1+i)x}+e^{(1-i)x}+e^{(-1-i)x}).\]

On applique alors le principe de superposition des solutions.

Recherche d’une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+2y=xe^{(1+i)x}\).

\(1+i\) est racine simple de l’équation caractéristique et donc l’équation précédente admet une solution particulière de la forme \(f~:~x\mapsto(ax^2+bx)e^{(1+i)x}\). D’après la formule de Leibniz :

\[\begin{align*}\ensuremath f''-2f'+2f&=(((1+i)^2(ax^2+bx)+2(1+i)(2ax+b)+2a)\\ &\;-2((1+i)(ax^2+bx)+(2ax+b))+2(ax^2+bx))e^{(1+i)x}\\ &=(2(1+i)(2ax+b)+2a-2((2ax+b)))e^{(1+i)x}=(2i(2ax+b)+2a)e^{(1+i)x}\\ &=(4iax+2a+2ib)e^{(1+i)x} \end{align*}\]

puis,

\[f''-2f'+2f=xe^{(1+i)x}\Leftrightarrow4ia=1\;\mbox{et}\;2ib+2a=0\Leftrightarrow a=-\frac{i}{4}\;\mbox{et}\;b=\frac{1}{4}.\]

Une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+2y=xe^{(1+i)x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{4}(-ix^2+x)e^{(1+i)x}\). Par conjugaison, une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+2y=xe^{(1-i)x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{4}(ix^2+x)e^{(1-i)x}\).

Recherche d’une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+2y=xe^{(-1+i)x}\).

\(-1+i\) n’est pas racine de l’équation caractéristique et donc l’équation précédente admet une solution particulière de la forme \(f~:~x\mapsto(ax+b)e^{(-1+i)x}\). D’après la formule de Leibniz :

\[\begin{align*}\ensuremath f''-2f'+2f&=(((-1+i)^2(ax+b)+2(-1+i)a)-2((-1+i)(ax+b)+a)+2(ax+b))e^{(-1+i)x}\\ &=((ax+b)(-2i-2(-1+i)+2)+2(-1+i)a-2a)e^{(-1+i)x}\\ &=(4(1-i)(ax+b)-2(2-i)a)e^{(1+i)x}=(4(1-i)ax-2(2-i)a+4(1-i)b)e^{(1+i)x} \end{align*}\]

puis,

\[\begin{align*}\ensuremath f''-2f'+2f=xe^{(-1+i)x}&\Leftrightarrow4(1-i)a=1\;\mbox{et}\;4(1-i)b-2(2-i)a=0\\ &\Leftrightarrow a=\frac{1+i}{8}\;\mbox{et}\;b=\frac{(2-i)(1+i)}{16(1-i)}=\frac{(3+i)(1+i)}{32}=\frac{1+2i}{16}. \end{align*}\]

Une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+2y=xe^{(-1+i)x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{16}(2(1+i)x+1+2i)e^{(-1+i)x}\). Par conjugaison, une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+2y=xe^{(-1-i)x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{16}(2(1-i)x+1-2i)e^{(-1-i)x}\).

Une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+2y=x\cos x\ch x\) est donc

\[\begin{align*}\ensuremath \frac{1}{4}&(2\mbox{Re}(\frac{1}{4}(-ix^2+x)e^{(1+i)x}+\frac{1}{16}(2(1+i)x+1+2i)e^{(-1+i)x})\\ &=\frac{1}{32}\mbox{Re}(4(-ix^2+x)(\cos x+i\sin x)e^x+(2x+1+2(x+1)i)(\cos x+i\sin x)e^{-x}\\ &=\frac{1}{32}(4(x\cos x+x^2\sin x)e^x+((2x+1)\cos x-2(x+1)\sin x)e^{-x}) \end{align*}\]

Les solutions sur \(\Rr\) de l’équation proposée sont les fonctions de la forme \(x\mapsto(\frac{1}{8}(x\cos x+x^2\sin x)+\lambda\cos x+\mu\sin x)e^x+((2x+1)\cos x-2(x+1)\sin x)e^{-x})\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\). L’équation caractéristique de l’équation homogène \(y''+6y'+9y=0\) est \(r^2+6r+9=0\) qui admet la racine double \(r=-3\). Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions de la forme \(x\mapsto e^{-3x}(\lambda x+\mu),\;(\lambda,\mu)\in\Rr^2\).

\(2\) n’est pas racine de l’équation caractéristique et donc l’équation proposée admet une solution particulière de la forme \(f~:~x\mapsto(ax^2+bx+c)e^{2x}\). D’après la formule de Leibniz :

\[\begin{align*}\ensuremath f''+6f'+9f&=((4(ax^2+bx+c)+4(2ax+b)+2a)+6(2(ax^2+bx+c)+(2ax+b))+9(ax^2+bx+c))e^{2x}\\ &=(25(ax^2+bx+c)+10(2ax+b)+2a)e^{2x}=(25ax^2+(20a+25b)x+2a+10b+25c)e^{2x} \end{align*}\]

puis,

\[f''+6f'+9f=x^2e^{2x}\Leftrightarrow25a=1\;\mbox{et}\;20a+25b=0\;\mbox{et}\;2a+10b+25c=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{25}\;\mbox{et}\;b=-\frac{4}{125}\;\mbox{et}\;c=\frac{6}{625}.\] Une solution particulière de l’équation \(y''+6y'+9y=x^2e^{2x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{625}(25x^2-20x+6)e^{2x}\).

Les solutions sur \(\Rr\) de l’équation proposée sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\frac{1}{625}(25x^2-20x+6)e^{2x}+(\lambda x+\mu)e^{-3x}\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\). L’équation caractéristique de l’équation homogène \(y''-2y'+y=0\) est \(r^2-2r+1=0\) qui admet la racine double \(r=1\). Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions de la forme \(x\mapsto e^{x}(\lambda x+\mu),\;(\lambda,\mu)\in\Rr^2\).

Le second membre s’écrit \(\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})\). Appliquons le principe de superposition des solutions.

Recherche d’une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+y=e^{x}\).

\(1\) est racine double de l’équation caractéristique et donc l’équation proposée admet une solution particulière de la forme \(f~:~x\mapsto ax^2e^{x}\). D’après la formule de Leibniz :

\[\begin{align*}\ensuremath f''-2f'+f&=((ax^2+2(2ax)+2a)-2(ax^2+(2ax))+ax^2)e^{2x}=2ae^{x} \end{align*}\]

puis,

\[f''-2f'+f=e^{x}\Leftrightarrow2a=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}.\] Une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+y=e^{x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{2}x^2e^{x}\).

Recherche d’une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+y=e^{-x}\).

\(-1\) n’est pas racine de l’équation caractéristique et donc l’équation proposée admet une solution particulière de la forme \(f~:~x\mapsto ae^{-x}\).

\[\begin{align*}\ensuremath f''-2f'+f&=(a+2a+a)e^{-x}=4ae^{-x} \end{align*}\]

puis,

\[f''-2f'+f=e^{-x}\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}.\] Une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+y=e^{-x}\) est \(x\mapsto\frac{1}{4}e^{-x}\).

Les solutions sur \(\Rr\) de l’équation proposée sont les fonctions de la forme \(x\mapsto(\frac{x^2}{4}+\lambda x+\mu)e^x+\frac{1}{8}e^{-x}\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\). Soit \(k\in\Rr\). L’équation caractéristique de l’équation homogène \(y''-2ky'+(1+k^2)y=0\) est \(r^2-2kr+1+k^2=0\) dont le discriminant réduit vaut \(-1=i^2\). Cette équation admet donc pour racines \(k+i\) et \(k-i\). Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions de la forme \(x\mapsto e^{kx}(\lambda\cos x+\mu\sin x),\;(\lambda,\mu)\in\Rr^2\).

Le second membre s’écrit \(\mbox{Im}(e^{(1+i)x})\). Résolvons donc l’équation \(y''-2y'+y=e^{(1+i)x}\).

Si \(k\neq1\), \(1+i\) n’est pas racine de l’équation caractéristique et donc l’équation proposée admet une solution particulière de la forme \(f~:~x\mapsto ae^{(1+i)x}\). Or,

\[\begin{align*}\ensuremath f''-2kf'+(1+k^2)f&=a((1+i)^2-2k(1+i)+1+k^2)e^{(1+i)x}=((k-1)^2-2(k-1)i)ae^{(1+i)x} \end{align*}\]

et donc,

\[f''-2kf'+(1+k^2)f=e^{(1+i)x}\Leftrightarrow a=\frac{1}{k-1}\frac{1}{k-1-2i}=\frac{k-1+2i}{(k-1)(k^2-2k+5)}.\] Une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+y=e^{(1+i)x}\) est \(x\mapsto\frac{k-1-2i}{(k-1)(k^2-2k+5)}e^{(1+i)x}\) et une solution particulière de l’équation \(y''-2y'+y=e^{x}\sin x\) est

\[\frac{1}{(k-1)(k^2-2k+5)}\mbox{Im}((k-1-2i)(\cos x+i\sin x)e^x=\frac{1}{(k-1)(k^2-2k+5)}(-2\cos x+(k-1)\sin x)e^x.\]

Si \(k\neq1\), les solutions de l’équation proposée sont les fonctions de la forme

\[x\mapsto\frac{1}{(k-1)(k^2-2k+5)}(-2\cos x+(k-1)\sin x)e^x+(\lambda\cos x+\mu\sin x)e^{kx},\;(\lambda,\mu)\in\Rr.\]

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