On considère l’équation différentielle : \((*) \iff y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0\).
1
On pose \(z(x) = y'(x) + \frac {y(x)}{\tanh x}\). Écrire l’équation différentielle (d’ordre 1) sur \(z\) déduite de \((*)\).
2
Résoudre sur \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\) l’équation en \(z\), puis \((*)\).
3
Parmi les solutions trouvées, quelles sont celles prolongeables en 0 ?
On note \(y_0\) la solution de \((*)\) telle que \(y_0(x) \to 1\) lorsque \(x\to0\).
4
Démontrer que \(y_0\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et que \(\frac {y_0'(x)}{\tanh x}\) admet une limite finie en \(0\).
En déduire que \(y_0\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\R\).
5
Est-ce que l’aire comprise entre la courbe de \(y_0\) et l’axe des abscisses est finie ?