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On pose $z(x) = y'(x) + \frac {y(x)}{\tanh x}$. Écrire l’équation différentielle (d’ordre 1) sur $z$ déduite de $(*)$.

Résoudre sur $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ l’équation en $z$, puis $(*)$.

Parmi les solutions trouvées, quelles sont celles prolongeables en 0 ?

On note $y_0$ la solution de $(*)$ telle que $y_0(x) \to 1$ lorsque $x\to0$.

Démontrer que $y_0$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et que $\frac {y_0'(x)}{\tanh x}$ admet une limite finie en $0$.

En déduire que $y_0$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R$.

Est-ce que l’aire comprise entre la courbe de $y_0$ et l’axe des abscisses est finie ?