Soit \(n\) un naturel non nul. Dire que \(f\) est une surjection de \(\{1,...,n+1\}\) sur \(\{1,...,n\}\) équivaut à dire que deux des entiers de \(\{1,...,n+1\}\) ont même image \(k\) par \(f\) et que les autres ont des images deux à deux distinctes et distinctes de \(k\). On choisit ces deux entiers : \(C_{n+1}^2\) choix et leur image commune : \(n\) images possibles ce qui fournit \(nC_{n+1}^2\) choix d’une paire de \(\{1,...,n+1\}\) et de leur image commune. Puis il y a \((n-1)!\) choix des images des \(n-1\) éléments restants. Au total, il y a \(n!\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n.(n+1)!}{2}\) surjections de \(\{1,...,n+1\}\) sur \(\{1,...,n\}\).

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