On veut montrer qu’il n’existe pas d’application \(f: {\N} \to {\N}\)
vérifiant : \(\forall\ n \in \N,\ f(f(n)) = n + 1987\).
(Olympiades 1987)
Soit \(f\) une telle application. On pose : \[E = \{0,\dots,1986\}, \qquad F = \N\setminus E, \qquad G = f(\N) \cap E, \qquad H = E\setminus G.\]
Démontrer successivement :
1
\(f\) est injective,
2
\(f(F) \subset F\),
3
\(f^{-1}(F) = F \cup G\),
4
\(f^{-1}(G) = H\),