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Calculer $\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}$.

Montrer que $\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+...$ et trouver la valeur commune des deux sommes.

Calculer les sommes $\binom{n}{0}+\binom{n}{3}+\binom{n}{6}+...$ et $\binom{n}{0}+\binom{n}{4}+\binom{n}{8}+...$.

Montrer que $\forall n\in\Nn^*,\;\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,\;k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$.

Montrer que $\binom{n}{0}^2 +\binom{n}{1}^2 + ... +\binom{n}{n}^2 =\binom{2n}{n}$ (utiliser le polynôme $(1+x)^{2n}$).

Calculer les sommes $0.\binom{n}{0}+1.\binom{n}{1}+ ...+n.\binom{n}{n}$ et $\frac{\binom{n}{0}}{1}+\frac{\binom{n}{1}}{2}+... +\frac{\binom{n}{n}}{n+1}$ (considérer dans chaque cas un certain polynôme astucieusement choisi).

Montrer que $\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}... +\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}$ où $0\leq p\leq n$. Interprétation dans le triangle de Pascal ?

Soit $I_n=\int_{0}^{1}(1-x^2)^n\;dx$. Trouver une relation de récurrence liant $I_n$ et $I_{n+1}$ et en déduire $I_n$ en fonction de $n$ (faire une intégration par parties dans $I_n-I_{n+1}$).

Démontrer l’identité valable pour $n\geq1$ : $1-\frac{\binom{n}{1}}{3}+\frac{\binom{n}{2}}{5}+...+(-1)^n\frac{\binom{n}{n}}{2n+1} =\frac{2.4.....(2n)}{1.3...(2n+1)}$.