La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
Calculer \(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}\).
Montrer que \(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+...\) et trouver la valeur commune des deux sommes.
Calculer les sommes \(\binom{n}{0}+\binom{n}{3}+\binom{n}{6}+...\) et \(\binom{n}{0}+\binom{n}{4}+\binom{n}{8}+...\).
Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,\;k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\).
Montrer que \(\binom{n}{0}^2 +\binom{n}{1}^2 + ... +\binom{n}{n}^2 =\binom{2n}{n}\) (utiliser le polynôme \((1+x)^{2n}\)).
Calculer les sommes \(0.\binom{n}{0}+1.\binom{n}{1}+ ...+n.\binom{n}{n}\) et \(\frac{\binom{n}{0}}{1}+\frac{\binom{n}{1}}{2}+... +\frac{\binom{n}{n}}{n+1}\) (considérer dans chaque cas un certain polynôme astucieusement choisi).
Montrer que \(\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}... +\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}\) où \(0\leq p\leq n\). Interprétation dans le triangle de Pascal ?
Soit \(I_n=\int_{0}^{1}(1-x^2)^n\;dx\). Trouver une relation de récurrence liant \(I_n\) et \(I_{n+1}\) et en déduire \(I_n\) en fonction de \(n\) (faire une intégration par parties dans \(I_n-I_{n+1}\)).
Démontrer l’identité valable pour \(n\geq1\) : \(1-\frac{\binom{n}{1}}{3}+\frac{\binom{n}{2}}{5}+...+(-1)^n\frac{\binom{n}{n}}{2n+1} =\frac{2.4.....(2n)}{1.3...(2n+1)}\).