Soit $n\geq5$ . De chaque sommet part $n-1$ droites (vers les $n-1$ autres sommets) dont $2$ sont des cotés et $n-3$ des diagonales. Comme chaque diagonale passe par 2 sommets , il y a $\frac{n(n-3)}{2}$ diagonales.

Ces diagonales se recoupent en $C_{n(n-3)/2}^2$ points distincts ou confondus. Dans ce décompte, chaque sommet a été compté autant de fois que l’on a choisi une paire de deux diagonales passant par ce sommet à savoir $C_{n-3}^2$ . Maintenant, il y a $n$ sommets.

Réponse : $\begin{align*}\ensuremath C_{n(n-3)/2}^2-nC_{n-3}^2&=\frac{1}{2}\frac{n(n-3)}{2}(\frac{n(n-3)}{2}-1)-n\frac{(n-3)(n-4)}{2}=\frac{n(n-3)}{8}(n(n-3)-2-4(n-4))\\ &=\frac{n(n-3)}{8}(n^2-7n+14) \end{align*}$

Les diagonales se recoupent en $\frac{n(n-3)(n^2-7n+14)}{8}$ points distincts ou confondus et distincts des sommets (ou encore en $\frac{n(n-3)(n^2-7n+14)}{8}$ points au maximum).

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