Soient \(E\) un ensemble non vide et \(X ,Y\) une partition de \(E\).
1
Montrer que l’application suivante est une bijection : \[\mathcal{P}(E)\longrightarrow \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(Y)\] \[A\mapsto(A \cap X, A \cap Y)\]
2
Montrer que pour \(p,q,r\in \Nn\) tel que \(r \le p+q\) on a : \[\sum_{i+j=r}C_p^iC_q^j=C_{p+q}^r.\]
3
En déduire que : \[\sum_{k=0}^{n}(C_n^k)^2=C_{2n}^n.\]