exo7 231

Montrer que l’application suivante est une bijection : $$\mathcal{P}(E)\longrightarrow \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(Y)$$ $$A\mapsto(A \cap X, A \cap Y)$$

Montrer que pour $p,q,r\in \Nn$ tel que $r \le p+q$ on a : $$\sum_{i+j=r}C_p^iC_q^j=C_{p+q}^r.$$

En déduire que : $$\sum_{k=0}^{n}(C_n^k)^2=C_{2n}^n.$$