Soit \(E\) un ensemble, \(a \in E\) et \(f : \begin{cases} \mathcal{P} (E) \rightarrow \mathcal{P} (E) \\ X \mapsto X \cup \left\{ a\right\} \text{ si } a \notin X\\ X \mapsto X - \left\{ a\right\} \text{ si } a \in X \end{cases}\)
1
Montrer que \(f\) est une bijection.
2
On suppose désormais que \(E\) est fini et \(\mathrm{Card} (E) = n\). On pose \(\mathcal{P}_0 (E)\) l’ensemble des parties de \(E\) de cardinal pair et \(\mathcal{P}_1 (E)\) l’ensemble des parties de \(E\) de cardinal impair. Montrer que \(\mathrm{Card} (\mathcal{P}_0 (E)) = \mathrm{Card} (\mathcal{P}_1 (E))\).
3
Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de \(\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k C_n^k\).