exo7 232

Montrer que $f$ est une bijection.

On suppose désormais que $E$ est fini et $\mathrm{Card} (E) = n$. On pose $\mathcal{P}_0 (E)$ l’ensemble des parties de $E$ de cardinal pair et $\mathcal{P}_1 (E)$ l’ensemble des parties de $E$ de cardinal impair. Montrer que $\mathrm{Card} (\mathcal{P}_0 (E)) = \mathrm{Card} (\mathcal{P}_1 (E))$.

Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de $\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k C_n^k$.