Si \(n\geq366\), on a clairement \(p_n=1\) (Principe des tiroirs : si \(366\) personnes sont à associer à \(365\) dates d’anniversaire, alors \(2\) personnes au moins sont à associer à la même date d’anniversaire).

Si \(2\leq n\leq 365\), on a \(p_n=1-q_n\) où \(q_n\) est la probabilité que les dates d’anniversaire soient deux à deux distinctes. Il y a \((365)^n\) répartitions possibles des dates d’anniversaires (cas possibles) et parmi ces répartitions, il y en a \(365.364.363....(365-n+1)\) telles que les dates d’anniversaire soient deux à deux distinctes. Finalement

\[p_n=1-\frac{1}{(365)^n}365.364.363....(365-n+1)=1-\prod_{k=1}^{n-1}\frac{365-k}{365}=1-\prod_{k=1}^{n-1}(1-\frac{k}{365}).\]

Ensuite,

\[p_n\geq\frac{1}{2}\Leftrightarrow\prod_{k=1}^{n-1}(1-\frac{k}{365})\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n-1}\ln(1-\frac{k}{365}) \leq\ln\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n-1}-\ln(1-\frac{k}{365})\geq\ln2.\]

Maintenant, soit \(x\in[0,1[\). On a

\[-\ln(1-x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}dt\geq\int_{0}^{x}\frac{1}{1-0}dt=x.\]

Pour \(k\) élément de \(\{1,...,n-1\}(\subset\{1,...,364\})\), \(\frac{k}{365}\) est un réel élément de \([0,1[\).

En appliquant l’inégalité précédente, on obtient

\[\sum_{k=1}^{n-1}-\ln(1-\frac{k}{365})\geq\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{365}=\frac{n(n-1)}{730}.\]

Ainsi,

\[p_n\geq\frac{1}{2}\Leftarrow\frac{n(n-1)}{730}\geq\ln 2\Leftrightarrow n^2-n-730\ln2\geq0\Leftrightarrow n\geq\frac{1+\sqrt{1+2920\ln2}}{2}=22,99...\Leftrightarrow n\geq23.\]

Finalement, dans un groupe d’au moins \(23\) personnes, il y a plus d’une chance sur deux que deux personnes au moins aient la même date d’anniversaire.

exo7 5282