L1 Algèbre Dénombrement Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

exo7 3051

Soit f:N2→N,(p,q)↦12(p+q)(p+q+1)+p.\begin{align*} f : {\N^2} &\to {\N}, \\ {(p,q)} &\mapsto {{\frac12}(p+q)(p+q+1) + p}. \end{align*}

1

Montrer pour q>0q > 0 : f(p+1,q−1)=f(p,q)+1f(p+1,q-1) = f(p,q)+1 et f(0,p+1)=f(p,0)+1f(0,p+1) = f(p,0)+1.

2

Montrer que : f(0,p+q)≤f(p,q)<f(0,p+q+1)f(0,p+q) \le f(p,q) < f(0,p+q+1).

3

Montrer que gg : n↦f(0,n)n \mapsto f(0,n) est strictement croissante.

4

Montrer que ff est injective (on supposera f(p,q)=f(p′,q′)f(p,q) = f(p',q') et on montrera dans un premier temps que p+q=p′+q′p+q = p'+q').

5

Montrer que ff est surjective.

Exercice 450T

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