Soit \[\begin{align*} f : {\N^2} &\to {\N}, \\ {(p,q)} &\mapsto {{\frac12}(p+q)(p+q+1) + p}. \end{align*}\]
1
Montrer pour \(q > 0\) : \(f(p+1,q-1) = f(p,q)+1\) et \(f(0,p+1) = f(p,0)+1\).
2
Montrer que : \(f(0,p+q) \le f(p,q) < f(0,p+q+1)\).
3
Montrer que \(g\) : \(n \mapsto f(0,n)\) est strictement croissante.
4
Montrer que \(f\) est injective (on supposera \(f(p,q) = f(p',q')\) et on montrera dans un premier temps que \(p+q = p'+q'\)).
5
Montrer que \(f\) est surjective.