Soit \(M \subset \Rr^3\) le cylindre défini par l’équation \(x^2 + y^2 = 1\). Dans la carte \((\theta,z) \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta), z)\) de \(M\) on donne le champ de vecteurs \(X\) défini par : \[X(\theta,z) = \frac{\partial}{\partial\theta}{\Big\vert_{(\theta,z)}} + \tfrac12 z(z^2-1) \frac{\partial}{\partial z}{\Big\vert_{(\theta,z)}}\ .\]
1
Dire pourquoi \(X\) définit un champ de vecteurs sur \(M\).
2
Esquisser le champ \(X\) dans la carte et calculer son flot \(\phi_t\) sur \(M\).
3
Le champ \(X\) est-il complet ?
4
Calculer les points \((t,\theta,z)\) tel que \(\phi(t,\theta,z) = (\theta,z)\) sur le cylindre \(M\).