Soit \(H\) un espace hermitien et \(a\) un endomorphisme de \(H\).
1
Montrer que \(b=a a ^*\) est un endomorphisme auto-adjoint positif.
2
Montrer en utilisant une diagonalisation qu’il existe un unique endomorphisme auto-adjoint positif \(c\) de \(H\) tel que \(c^2=b\).
3
On suppose désormais que \(a\) est inversible. Montrer que \(a\) s’écrit de façon unique sous la forme \(a=hu\) où \(h\) est un endomorphisme auto-adjoint positif et \(u\) un endomorphisme unitaire.
4
Déterminer \(h\) et \(u\) pour l’endomorphisme \(a\) dont la matrice dans la base canonique de \(\Cc^2\) est \[\left[ \begin{array}{cc} 1&i\\ i&1 \end{array} \right]\]