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Montrer que $b=a a ^*$ est un endomorphisme auto-adjoint positif.

Montrer en utilisant une diagonalisation qu’il existe un unique endomorphisme auto-adjoint positif $c$ de $H$ tel que $c^2=b$.

On suppose désormais que $a$ est inversible. Montrer que $a$ s’écrit de façon unique sous la forme $a=hu$ où $h$ est un endomorphisme auto-adjoint positif et $u$ un endomorphisme unitaire.

Déterminer $h$ et $u$ pour l’endomorphisme $a$ dont la matrice dans la base canonique de $\Cc^2$ est $$\left[ \begin{array}{cc} 1&i\\ i&1 \end{array} \right]$$