\(\left\{ \begin{array}{l} u=x+y\\ v=x+2y \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=2u-v\\ y=-u+v \end{array} \right.\). L’application \((x,y)\mapsto(u,v)\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\Rr^2\) sur lui-même. Pour \((u,v)\in\Rr^2\), posons alors \(g(u,v)=f(2u-v,u+v)=f(x,y)\) de sorte que \(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(f(x,y)=g(x+y,x+2y)=g(u,v)\). \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) si et seulement si \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) et

\[\begin{align*}\ensuremath 2\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=2\frac{\partial}{\partial x}\left(g(x+y,x+2y)\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(g(x+y,x+2y)\right)\\ &=2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\times\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial v}{\partial x}\times\frac{\partial g}{\partial v}(u,v)\right)-\left(\frac{\partial u}{\partial y}\times\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial v}{\partial y}\times\frac{\partial g}{\partial v}(u,v)\right)\\ &=2\left(\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial g}{\partial v}(u,v)\right)-\left(\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)+2\frac{\partial g}{\partial v}(u,v)\right)=\frac{\partial g}{\partial u}(u,v). \end{align*}\]

Par suite,

\[\begin{align*}\ensuremath \forall(x,y)\in\Rr^2,\;2\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0&\Leftrightarrow\forall(u,v)\in\Rr^2,\;\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=0\\ &\Leftrightarrow\exists F~:~\Rr\rightarrow\Rr\;\text{de classe}\;C^1\;\text{telle que}\;\forall (u,v)\in\Rr^2,\;g(u,v)=F(v)\\ &\Leftrightarrow\exists F~:~\Rr\rightarrow\Rr\;\text{de classe}\;C^1\;\text{telle que}\;\forall (x,y)\in\Rr^2,\;f(x,y)=F(x+2y). \end{align*}\]

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