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On dit qu’une suite $(f_{n})_{n\in \Nn}$ de fonctions définies sur $I=[a,b]$ converge uniformément vers $f$ si : $$\forall \epsilon >0,\exists \Nn\in \Nn,\forall n\geq \Nn,\forall x\in I,\left| f_{n}(x)-f(x)\right| <\epsilon .$$

On suppose que $(f_{n})_{n\in \Nn}$ converge uniformément vers $f$ sur l’intervalle $[a,b]$, et que toutes les $f_{n}$ sont continues. Montrer que $\forall x\in [a,b],$ la suite $(f_{n}(x))_{n\in \Nn}$ est convergente, et donner sa limite. Montrer que $f$ est bornée et continue.

On ne suppose plus que $(f_{n})_{n}$ converge uniformément mais seulement point par point (ie, $\forall x\in [a,b],$ la suite $(f_{n}(x))_{n\in \Nn}$ est convergente vers $f(x)$); de plus toutes les $f_{n}$ sont lipschitziennes de rapport $k$ ; montrer que $f$ est lipschitzienne de rapport $k$ et qu’il y a converge uniforme.