On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) converge uniformément vers \(f\) si : \[\forall \epsilon >0,\exists \Nn\in \Nn,\forall n\geq \Nn,\forall x\in I,\left| f_{n}(x)-f(x)\right| <\epsilon .\]
On suppose que \((f_{n})_{n\in \Nn}\) converge uniformément vers \(f\) sur l’intervalle \([a,b]\), et que toutes les \(f_{n}\) sont continues. Montrer que \(\forall x\in [a,b],\) la suite \((f_{n}(x))_{n\in \Nn}\) est convergente, et donner sa limite. Montrer que \(f\) est bornée et continue.
On ne suppose plus que \((f_{n})_{n}\) converge uniformément mais seulement point par point (ie, \(\forall x\in [a,b],\) la suite \((f_{n}(x))_{n\in \Nn}\) est convergente vers \(f(x)\)); de plus toutes les \(f_{n}\) sont lipschitziennes de rapport \(k\) ; montrer que \(f\) est lipschitzienne de rapport \(k\) et qu’il y a converge uniforme.