1
Montrer que pour tout \(a \in \mathbb{R}^{+*},\) et pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) appartenant à \(]-\infty,-a]\) ou à \([a,\infty[,\) on a: \[|\frac 1x - \frac 1y| \leq \frac 1{a^2}|x-y|.\]
2
En déduire que pour tout \(x_0 \in \mathbb{R}^*\) et pour tout \(\epsilon > 0\) il existe \(\alpha > 0\) tel que : \[|x-x_0| < \alpha \;\Rightarrow\; |\frac 1x - \frac 1{x_0}| < \epsilon.\]
3
En déduire que la fonction \(x \mapsto \frac 1x\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}^*.\)