exo7 618

Montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}^{+*},$ et pour tout couple de nombres réels $(x,y)$ appartenant à $]-\infty,-a]$ ou à $[a,\infty[,$ on a: $$|\frac 1x - \frac 1y| \leq \frac 1{a^2}|x-y|.$$

En déduire que pour tout $x_0 \in \mathbb{R}^*$ et pour tout $\epsilon > 0$ il existe $\alpha > 0$ tel que : $$|x-x_0| < \alpha \;\Rightarrow\; |\frac 1x - \frac 1{x_0}| < \epsilon.$$

En déduire que la fonction $x \mapsto \frac 1x$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^*.$