Soit $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x\;\mbox{si}\;x\in(\Qq\cap[0,1])\setminus\{0,\frac{1}{2}\}\\ 1-x\;\mbox{si}\;x\in(\Rr\setminus\Qq)\cap[0,1]\\ 0\;\mbox{si}\;x=\frac{1}{2}\;\mbox{et}\;\frac{1}{2}\;\mbox{si}\;x=0 \end{array} \right.$ . $f$ est bien une application définie sur $[0,1]$ à valeurs dans $[0,1]$ . De plus, si $x\in(\Qq\cap[0,1])\setminus\{0,\frac{1}{2}\}$ , alors $f(f(x))=f(x)=x$ .

Si $x\in(\Rr\setminus\Qq)\cap[0,1]$ , alors $1-x\in(\Rr\setminus\Qq)\cap[0,1]$ et donc $f(f(x))=f(1-x)=1-(1-x)=x$ .

Enfin, $f(f(0))=f(\frac{1}{2})=0$ et $f(f(\frac{1}{2}))=f(0)=\frac{1}{2}$ .

Finalement, $f\circ f=Id_{[0,1]}$ et $f$ , étant une involution de $[0,1]$ , est une permutation de $[0,1]$ .

Soit $a$ un réel de $[0,1]$ . On note que $\lim_{x\rightarrow a,\;x\in(\Rr\setminus\Qq)}f(x)=1-a$ et $\lim_{x\rightarrow a,\;x\in\Qq}f(x)=a$ . Donc, si $f$ a une limite en $a$ , nécessairement $1-a=a$ et donc $a=\frac{1}{2}$ . Mais, si $a=\frac{1}{2}$ , $\lim_{x\rightarrow a,\;x\in\Qq,\;x\neq a}f(x)=a=\frac{1}{2}\neq0=f(\frac{1}{2})$ et donc $f$ est discontinue en tout point de $[0,1]$ .

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