Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante en
+ ∞ +\infty + ∞ :
\colonnes{\solution}{3}{1}
\question{1 x − 1 − 1 x + 1 \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} x − 1 1 − x + 1 1 1 x − 1 − 1 x + 1 = 2 x 2 − 1 x → + ∞ 2 x 2 \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^{2}-1} \underset{x \rightarrow+\infty}{ } \frac{2}{x^{2}} x − 1 1 − x + 1 1 = x 2 − 1 2 x → + ∞ x 2 2 x 2 − 1 x → + ∞ x 2 . x^{2}-1 \underset{x \rightarrow+\infty}{ } x^{2} . x 2 − 1 x → + ∞ x 2 . \question{x + 1 + ln ( x ) x+1+\ln(x) x + 1 + ln ( x ) x + 1 + ln ( x ) − x → + ∞ x x+1+\ln (x) \underset{x \rightarrow+\infty}{-} x x + 1 + ln ( x ) x → + ∞ − x lim x → + ∞ x + 1 + ln ( x ) x = lim x → + ∞ x × ( 1 + 1 x + ln ( x ) x ) x = lim x → + ∞ 1 + 1 x + ln ( x ) x = 1. \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+1+\ln (x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x \times\left(1+\frac{1}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 1+\frac{1}{x}+\frac{\ln (x)}{x}=1 . x → + ∞ lim x x + 1 + l n ( x ) = x → + ∞ lim x x × ( 1 + x 1 + x l n ( x ) ) = x → + ∞ lim 1 + x 1 + x l n ( x ) = 1. \question{sin ( 1 x + 1 ) \sin\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) sin ( x + 1 1 ) sin ( u ) ∼ u → 0 u ⇒ sin ( 1 x + 1 ) ∼ x → + ∞ 1 x + 1 ∼ x → + ∞ 1 x \sin (u) \underset{u \rightarrow 0}{\sim} u \Rightarrow \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{x}} sin ( u ) u → 0 ∼ u ⇒ sin ( x + 1 1 ) x → + ∞ ∼ x + 1 1 x → + ∞ ∼ x 1 \question{x + 1 − x − 1 \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} x + 1 − x − 1 x + 1 − x − 1 = ( x + 1 − x − 1 ) ( x + 1 + x − 1 ) x + 1 + x − 1 = ( x + 1 ) − ( x − 1 ) x + 1 + x − 1 = 2 x + 1 + x − 1 \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=\frac{(x+1)-(x-1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} x + 1 − x − 1 = x + 1 + x − 1 ( x + 1 − x − 1 ) ( x + 1 + x − 1 ) = x + 1 + x − 1 ( x + 1 ) − ( x − 1 ) = x + 1 + x − 1 2 x + 1 + x − 1 ∼ x → + ∞ 2 x \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim } 2 \sqrt{x} x + 1 + x − 1 x → + ∞ ∼ 2 x lim x → + ∞ x + 1 + x − 1 2 x = lim x → + ∞ 1 2 x + 1 x + 1 2 x − 1 x = lim x → + ∞ 1 2 + 1 2 = 1 \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2 \sqrt{x}}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x+1}{x}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{x-1}{x}}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 x → + ∞ lim 2 x x + 1 + x − 1 = x → + ∞ lim 2 1 x x + 1 + 2 1 x x − 1 = x → + ∞ lim 2 1 + 2 1 = 1 x + 1 − x − 1 ∼ x → + ∞ 2 2 x = 1 x
\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim } \frac{2}{2 \sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}
x + 1 − x − 1 x → + ∞ ∼ 2 x 2 = x 1 \question{ln ( x 2 + x + 2 x 2 + x − 1 ) \ln\left(\frac{x^2+x+2}{x^2+x-1}\right) ln ( x 2 + x − 1 x 2 + x + 2 ) x 2 + x + 2 x 2 + x − 1 = x 2 × ( 1 + 1 x + 2 x 2 ) x 2 × ( 1 + 1 x − 1 x 2 ) = 1 + 1 x + 2 x 2 1 + 1 x − 1 x 2 \frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}=\frac{x^{2} \times\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{2} \times\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}} x 2 + x − 1 x 2 + x + 2 = x 2 × ( 1 + x 1 − x 2 1 ) x 2 × ( 1 + x 1 + x 2 2 ) = 1 + x 1 − x 2 1 1 + x 1 + x 2 2 1 + u + 2 u 2 1 + u − u 2 = 1 + 3 u 2 + u 2 . ε ( u )
\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}=1+3 u^{2}+u^{2} . \varepsilon(u)
1 + u − u 2 1 + u + 2 u 2 = 1 + 3 u 2 + u 2 . ε ( u ) ln ( 1 + v ) = v − v 2 2 + v 2 . ε ( v ) v ≠ 0 ⇒ ln ( 1 + u + 2 u 2 1 + u − u 2 ) = 3 u 2 + u 2 . ε ( u ) \ln (1+v)=v-\frac{v^{2}}{2}+v^{2} . \underset{v \neq 0}{\varepsilon(v)} \Rightarrow \ln \left(\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}\right)=3 u^{2}+u^{2} . \varepsilon(u) ln ( 1 + v ) = v − 2 v 2 + v 2 . v = 0 ε ( v ) ⇒ ln ( 1 + u − u 2 1 + u + 2 u 2 ) = 3 u 2 + u 2 . ε ( u ) ln ( x 2 + x + 2 x 2 + x − 1 ) = 3 x 2 + 1 x 2 ⋅ ε ( 1 x ) \ln \left(\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}\right)=\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}} \cdot \varepsilon\left(\frac{1}{x}\right) ln ( x 2 + x − 1 x 2 + x + 2 ) = x 2 3 + x 2 1 ⋅ ε ( x 1 ) ln ( x 2 + x + 2 x 2 + x − 1 ) ∼ x → + ∞ 3 x 2 \ln \left(\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}\right) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{3}{x^{2}} ln ( x 2 + x − 1 x 2 + x + 2 ) x → + ∞ ∼ x 2 3